Математика курсын оқытуда оқушыларды дәлелдеуге үйрету әдістері

Күнделікті өмірде адамдар бір-бірімен пікір алмасады, өздерінің көрген, естіген ақпараттарын басқаларға жеткізеді.Қандайда бір мәселелер бойынша адамдар арсында пікірталастар туындаған жағдайда олар өздерінің ойларының, көзқарастарының дұрыстығын негіздеп жатады.Адамдардың айтатын ойын, пікірін негіздей білуі және шүбәсіз дәлел келтіре алуы ойлаудың ең маңызды қасиеті болып табылады.
Мектеп математика курсында дәлелдеуге үйрету деп оқушыларды мұғалім ұсынған немесе оқулықтан берілген дайын дәлелдеулерді оқып –үйренуге және өзбеттерінше дәлелдеу әдістерін іздеуге дайындауды түсінеміз.
Олай болса, бұл тұжырымнан оқушыларға дайын дәлелдеулерді оқыту кезінде дәлелдеу құрылымын меңгеріп, оларда осыған ұқсас математикалық тұжырымдарды өзбетінше дәлелдеу әдістерін іздестіруге қажетті дағдылар қалыптастырылуы керектігін көреміз.Яғни, ұсынылатын дайын дәлелдеулер оқушылардың дәлелдеу біліктіліктерін қалыртастыратын ақыл-ой іс-әрекеттерін жаттықтыратын, оқып-үйренген ділелдеу тәсілдеріне аналогиялық жолмен өзбетінше дәлелдеудің түрлі әдістерін қолданатын модель ролін атқаруы керек.
Математика курсын оқытудың тәжірибесіне жасалған талдаулар негізінде дәлелдеуге үйрету үрдісін мынадай міндеттер тізбегіне бөлуге болатындығын көреміз.
-дайын дәлелдеулерді оқып-үйрену, оны қайталап айтып бере алу біліктіліктері:
-оқып-үйренген білімдерге аналогиялы түрде дәлелдеу жолын өзбетінше құру;
-есепті мұғалім ұсынған тәсілмен қарастыру және дәлелдеу;
-есептің дәлелдеу жолын өзбетінше іздестіру және дәлелдеу.
Дәлелдеуге үйретудің бірінші дайын дәлелдеулерді оқып-үйрену,оны қайталап айтып бере алу біліктіліктері деңгейіне тоқталсақ.Оқып-үйрену үрдісінің бұл деңгейіндегі мұғалім мен оқушылардың негізгі міндеттері мыналар:
-теоремалардың (есептердің) бастапқы шарттары мен талаптарын ұғыну;
-дәлелдеудің негізгі идеясын және дәлелдеу жүйесін ұғыну;
-дәлелдеу жүргізген әдісті түсіну;
-дәлелдеудің негізгі кезеңдерін ажырата білу және дәлелдеудің барлық аргументтерін жетік меңгеру.
Әдіскер ғалым Д.Рахымбек оқушылардың дәлелдеу біліктіліктерін қалыптастыру туралы еңбектерінде мынадай 4 компонентті атап көрсеткен.
-обьектіні ұғымға келтіру;
-теорема (есеп) қорытындысында әңгіме етіліп жатқан ұғымның қажетті және жеткілікті белгілерін білу;
-ұғымның есеп шартын қанағаттандыратын белгілерін таңдау;
-есеп шартын ашып жазу.
Мектеп тәжірибесі көрсетіп отырғандай дәлелдеуге үйретудің бастапқы кезеңдерінде, теорема қандайда бір фигура үшін дәлелденгенімен ол оған ұқсас барлық жағдайлар үшін тура екендігін көптеген оқушылар түсінбей жатады.Кейбір оқушыларға оқып үйренген дәлелдеуді басқаша салынған сызбада немесе басқа әріптермен белгіленген сол сызбаның өзінде-ақ дәлелдеп беруді тапсырғанда олар оны бірінші рет көргендей күйге ұшырап жатады.Сондықтан тақырыпты бекітуге берілген жаттығулармен үй тапсырмаларында дәлелдеуге берілген есептерді оқушыларға басқа әріптермен белгіленген өзгертілген сызбаларда жүргізуді ұсыну керек.
Бұл аталып өтілген мәселелермен қатар оқушылар назарын дәлелдеу құрылымына аудару қажет,яғни дәлелдеудің негізгі идеясын атап көрсету, қысқаша түрде дәлелдеу сүлбесін ашып көрсету, бұған дейінгі дәлелденген қай қағидалар негізінде жаңа тұжырым дәлелденгендігін түсіндіру, осыған байланысты қандай қосымша салулар жүргізіледі және неліктен екендігін атап өту.Дәлелдеуді мұндай екі жақты баяндаудың қажеттігі мынада:дәлелдеуді жіктеп ашып көрсету оның жеке бөлшектерінің арасындағы берік байланысты орнатуды қамтамасыз етсе, ал әдісі мен идеясын көрсететін дәлелдеудің қысқаша сүлбесі оқушылардың негізгі дәлелдеу құрылымын тұтастай түсінуге мүмкіндік береді.
Көп жылдардағы мектеп тәжірибесі көрсеткендей теоремалардың(дәлелдеуге берілген есептердің) дәлелдеуінің мазмұнын қысқаша символикалық формада жазу оқушылардың түсінуі мен есте сақтауына оңай болатындығын көрсетуде.Дәлелдеу жолдары мен тәсілдерін түсіндіру кезінде оқушылар айтылған мәселелерді тыңдай отырып конспектілуге көңіл аударады да, оның мән-мағынасын тереңт түсінбей жатады.Сондықтан оқушыларға теоремалардың дәлелдеуін мұқият тыңдап түсініп алуын, оданн кейін мұғалім оны тақтаға қысқаша символикалық түрде жазып, оны дәптерлеріне конспектілеуді талап еткендігі тиімді болады.
Өйткені психологтар бір мезгілде толықтай назар қоюды талап ететін екі бідей іс-әрекетті қатар орындау мүмкін еместігін айтады.
Оқушыларды теоремалардың дәлелдеуінің(немесе дәлелдеуге берілген есептерді шығарудың) құрылымын жақсы ұғынулары және жүргізілетін дәлелдеу үрдісінің әрбір тұжырымын негіздеп отыруға үйрету үшін мынадай кестені қолданған пайдалы деп ойлаймыз.Кесте екі бағаннан құрылады да, сол жағына қарастырылып жатқан теореманы дәлелдеуге қажетті тұжырымдар тізбегі жазылады, ал оң жағына осы әрбір тұжырымның негіздемесі келтіріледі.
Оқушыларды дәлелдеуге үйрету жемісті болуы үшін олар қажетті теориялық білім жүйесін(ұғымдар жіне олардың анықтамалары, аксиомалар, теоремалар)толықтай дерлік меңгерген және негізі салуларды орындай алу біліктіліктері қалыптасқан болуы қажетті.Сонымен қатар оқушыларды біртіндеп мақсатты түрде талдау, синтез, абстракциялау, жалпылау және т.с.с. жалпы ақыл-ой іс-әрекеттеріне үйреу керек.
Мектеп математика курсында оқушылар аналитикалық, анлитикалық-синтетикалық,синтетикалық, қарсы жору, математикалық индукция, геометриялық түрлендірулер, алгебралық тәсіл сияқты дәлелдеу әдістермен таныстырылады.
Дәлелдеудің аналитикалық тәсілінің мән-мағынасы бойынша теореманың(есептің) ізделінді элементі алынған деп ұйғарыладыда, ол қайдан алынды деген бағытта бастапқы пункт болып табылатын қандайда бір белгілі тұжырымға жеткенше есеп берілгендері мен нәтиже арасындағы байланыстар анықталады.Бұл жүргізілген іс-әрекеттерді талдау деп атаймыз немесе ол есептің кері шешімі болып табылады.
Талдау жасаудың жалпы түрдегі жоспарын мына түрде құруға болады.
1.Берілген теорема шартын қанағаттандыратын ізделінді элементтің бар болатындығын көрсетуге қажетті аксиоманы немесе теорманы анықтау;
2.Қандай көмекші фигураларды пайдалану және оларды қандай ретпен жүргізу қажеттігін анықтау;
3.Теорема шартынан тікелей шығатын қарапайым тұжырым алынғанша 1-2 қайталау.
1-есеп.а түзуінде жатқан А нүктесі арқылы осы түзуге перпендикуляр жазықтығын жүргізуге болатындығын және оның біреу ғана болатындығын дәлелдеу керек.
Көрсетілген жалпы доспар бойынша мынандай талдаулар жасалынады.
а) 1.А нүктесі арқылы өтетін және а түзуіне перпендикуляр болатын жазықтығының бар болатындығын көрсетуге қажетті теорема түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгісі болыр табылады.
Теорема.Егер жазықтықты қиятын түзу осы қиылысу нүктесі арқылы өтетін сол жазықтықта жатқан екі түзуге перпендикуляр болса,ол түзу жазықтыққа перпендикуляр болады.
2.А нүктесі арқылы өтетін және әрбірі берілген а түзуімен перпендикуляр болатын b мен c түзулерін жүргізу керек.
ә) 1.Бұндай түзулердің бар болатындығы планиметрияның мына теоремасы арқылы негізделеді.
Теорема.Түзудің әрбір нүктесі арқылы оған перпендикуляр түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.
2.Бұл теорема бір жазықтықта жатқан түзулер үшін тұжырымдалған.Олай болса,b мен с түзулерін жүргізу ұшін алдымен а түзуі арқылы және жазықтықтарын жүргізіп алу қажет.
б) 1. және жазықтықтарын жүргізу стереометрия курсындағы мына теорема негізінде орындалады.
Теорема.Түзу және онда жатпайтын нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.
2.Олай болса, және жазықтықтарын жүргізу үшін алдымен а түзуінен тысқары жатқан В және С нүктелерін алу қажет.
в) 1.а түзуінен тысқары жатқан әртүрлі В және С нүктелерінің бар болуы планиметрияның — аксиомасы арқылы негізделеді.
Аксиома.Қандай түзуді алсақ та,ол түзуге тиісті болатын нүктелер де,оған тиісті емес нүктелер де бар.
Синтетикалық әдістің мән-мағынасы бұрыннан белгілі сөйлемдер аралық салдарлар ретінде алынып,дәлелденетін сөйлем логикалық жолмен алынуында болып табылады.Оқушыларға дәлелдеудің синтетикалық әдісін үйрету мынадай ретпен жүргізілгені тиімді болмақ.
-Теореманың қорытындысы ақиқат деп ұйғарылады;
-Бұл тұжырымнан барлық мүмкін салдарлар шығарылады;
-Алынған қорытындылардың ақиқаттығының айқындығына немесе бұған дейін ақиқаттығы дәлелденгендігіне көз жеткізіледі;
-Алынған ақиқат қорытынды ретінде ала отырып,кері ретпен пайымдаулар жасай отырып теоремада талап етілген тұжырымның ақиқаттығы туралы қорытындыға келу.
Есеп шешімінің жалғыздығын немесе шешімнің болмайтындығын дәлелдеу үшін көбінесе қарсы жору әдісін пайдалану тиімді болатындығын байқаймыз.Қарсы жору әдісінің мағынасы мынандай.Дәлелдеу қажетті теореманы немесе есептің қорытындысына қарсы тұжырым дұрыс деп ұйғарылады да,оны дәлелдеу барысында есеп шартына немесе белгілі ақиқат сөйлемге қайшы пікір алынады.
Қорыта айтқанда,оқушыларды дәлелдеуге үйрету нәтижесінде оларда дәлелдеу идеясын түсіну,құрылымын меңгеру,математикалық тұжырымдарды дәлелдеуге қажетті әдістерді дұрыс таңдай білу және дәлелдеу барысында қысқаша символикалық формада жазу біліктіліктері мен дағдылары қалыптасуы керек.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР:

Математика және физика журналы, 2010-2011ж. №6, 7
Математика журналы, 2015ж. №1, 3
Қазақстан мектебі журналы, 2011 ж. №3,4

Р/c
Аты-жөні
Мекен-жайы, телефоны
Баяндама тақырыбы

1
Нургалиева Гулжахан
Маңғыстау облысы, Бейнеу ауданы, Абай атындағы орта мектебі КММ
87764807147 guljahan_87@mail.ru
Математика курсын оқытуда оқушыларды дәлелдеуге үйрету әдістері