Реферат на тему: Пирамида

0
25

Пирамида Пирамидой  называется  многогранник,  который  состоит  из  плоского  многоугольника  — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,—  вершины  пирамиды  и  всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.  Отрезки,  соединяющие  вершину  пирамиды  с  вершинами  основания,  называются  боковыми ребрами.  Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых  граней.  Каждая  боковая  грань  — треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей  стороной  – сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды, называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды  на  плоскость основания.   Пирамида называется n-угольной, если ее  основанием  является  n-угольник.  Треугольная пирамида называется также тетраэдром.   У пирамиды, изображенной на рисунке 18, основание —  многоугольник  А1А2  …An,  вершина пирамиды – S, боковые ребра — SА1, S А2, …, S Аn, боковые грани – (SА1А2, (SА2А3, … .  В дальнейшем мы будем  рассматривать  только  пирамиды  с  выпуклым  многоугольником  в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками.

Пирамида АВСDS (или:1-2-3-4-5) задается параллелограммом (через три точки A,B,C (или 1,2,3) в основании и высотой h – проводится от пересечения диагоналей основания. Координаты точек A,B,C, высота пирамиды и сечение выбираются автоматически по вариантам. Если вариант равен 0, то координаты и высоту можно задавать с экрана, отличные от вариантных. Сечение задается автоматически в зависимости от варианта всегда Координаты 4-й точки основания и вершина S пирамиды, при варианте отличных от 0, вычисляются для вариантных. Так, если вариант равен нулю, то можете вводить свои значения, и расчеты будут соответствовать тем, что ввели. Примечание: на аксонометрических проекциях точки изображены не все – издержки памяти. Из-за этого не показано сечение на горизонтальной и профильной плоскостях проекций.

Построение пирамиды и ее плоских сечений. В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение  пирамиды  строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник.Затем отмечается вершина пирамиды,  которая  соединяется  боковыми  ребрами  с  вершинами основания.  Сечения  пирамиды  плоскостями,  проходящими  через  ее  вершину,  представляют   собой треугольники. В частности, треугольниками являются  диагональные  сечения.  Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.  Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы.  Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее  боковых граней с секущей плоскостью.  Если на грани, не параллельной следу g, известна какая-нибудь  точка  А,  принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g  секущей  плоскости  с  плоскостью  этой грани — точка D. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок  этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точкаА лежит на грани, параллельной следу g, то секущая  плоскость  пересекает  эту  грань  по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.

Сечение пирамиды фронт-проецирующей плоскостью

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости

  1. Проведем прямую CD, CD×g ≡ F, F ғ (SCD)
  2. Рассмотрим грань SCD. Проведем прямую FE, получим точки пересечения с ребрами пирамиды: SD×FE ≡ H и SC×FH ≡ G
  3. Проведем прямую AD. Найдем точку пересечения AD со следом g,

AD×g ≡ K

  1. Теперь уже в грани SAD появились две точки K и H. Проведем прямую KH, она пересекает ребро SA в точке L: KH×SA ≡ L
  2. Проведем прямую AB, найдем пересечение с прямой g:

g×AB ≡ M

  1. В грани получились две точки M и L. Получаем прямую ML. Находим пересечение с ребром SB: CB×ML ≡ N
  2. Соединим N и G. Сечение GHLN построено (рис. 5).

Усеченная пирамида

(*)Теорема:

Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию отсекает подобную пирамиду.

Доказательство:

Пусть S – вершина пирамиды, A – вершина основания и A1 – точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA (рис. 11). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии (фр. homothetie греч. homos равный, одинаковый, общий + thetos расположенный) относительно вершины S с коэффициентом гомотетии:

k = SA1/SA

При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, а следовательно, вся пирамида – в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой подобной данной. Теорема доказана.

По теореме (*) плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды подобные многоугольники, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани – трапеции.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого основания. Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, не лежащих в одной грани, называется диагональным.

Например, многогранник ABCDA1B1C1D1 – усеченная пирамида (рис. 12). Плоский многоугольник ABCDE и сечение A1B1C1D1 – основания усеченной пирамиды. Трапеции A1E1EA, E1D1DE, C1D1DC, B1C1CB, A1B1BA – боковые грани. HH1 – высота. E1C1CE – диагональное сечение усеченной пирамиды.

Теорема: Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:

  1. боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
  2. Сечение – это многоугольник, подобный основанию;
  3. Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины;

Следствие: Площадь сечения параллельного основанию пирамиды – квадратная функция расстояния его плоскости от вершины (или основания) пирамиды.

Чтобы построить усеченную пирамиду, сначала намечают карандашом полную пирамиду, проводят сечение, параллельное основанию, проводят ребра усеченной пирамиды, а верхнюю часть стирают.

Правильная усеченная пирамида

Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды (рис. 13).

Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой.

Например, KK1 – апофема правильной усеченной пирамиды. Прямая OO1 называется осью правильной усеченной пирамиды.

Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Дано: n-угольная правильная усеченная пирамида, l – апофема, p и p1 – периметры оснований.

Доказать: Sбок = ½(p+p1) ∙l

Доказательство: В правильной усеченной пирамиде все боковые грани – равные между собой трапеции. Пусть основания трапеции a и a1, ее высота k, тогда Sгр. = ½(a + a1)∙l, таких граней n,

следовательно, Sбок = n ½ (a + a1) l = ½ (na + na1)∙l, т.е. Sбок = ½ (p+p1)∙l

Теорема доказана.