Тағайындау Қазақстан Республикасы Президенті Әкімшілігінің келісімімен жүзеге асырылған.
Айбек Қосуақов 1975 жылғы 15 қазанда Маңғыстау облысы Маңғыстау ауданына қарасты Ұштаған ауылында дүниеге келген.
Ол 1997 жылы Ш. Есенов атындағы Ақтау университетін "Мұнай және газ ұңғымаларын бұрғылау" мамандығы бойынша аяқтаған. Кейін, 2013 жылы Д.А. Қонаев атындағы көлік және құқық гуманитарлық университетінде "Экономика" мамандығы бойынша білім алған.
Еңбек жолын 1997 жылы "Қаражанбасмұнай" АҚ-да бастаған. Алғашқы қызметінде мұнай және газ өндіру цехындағы тұзсыздандыру және құрғату қондырғысының операторы болған.
2001 жылы осы компанияның ұңғымаларды терең зерттеу зертханасында ұңғымаларды зерттеу жөніндегі оператор болып жұмыс істеді.
2005-2006 жылдары "Жазық" АҚ-да әлеуметтік даму жөніндегі атқарушы директор қызметін атқарды.
2007 жылдан 2020 жылға дейін "Таушық ауыл шаруашылығы" ЖШС алқалы атқарушы органының төрағасы болды.
Айбек Қосуақов мемлекеттік қызметте де бірқатар басшылық лауазым атқарған. 2020-2022 жылдары Маңғыстау облысының Түпқараған ауданын басқарды.
Ал 2022-2024 жылдары Жаңаөзен қаласының әкімі қызметінде болды.
2024 жылғы 22 сәуірден бері "КаспийТрансКом" ЖШС директорының кеңесшісі қызметін атқарып келген.
Енді Айбек Қосуақов Маңғыстау облысы әкімі аппаратының жұмысын басқарады.