Теңдеулер жүйесін шешу | Скачать Курстық жұмыс

Кіріспе
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..
… … .3

1 Екі айнымалысы бар симметриялық теңдеулер

1.1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелер және оның шығу
тарихы … … … … … … … . … … … … … … … … … … ..
… … … … … … … … … … … … … .5
1.2 Симметриялық көпмүшеліктің
анықтамалары … … … … … … … … … … … … ..13
1.3 Екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы
теорема … … … … … … … … … … … … … … … … … ..
… … … … … … … … … … … … …14
1.4 және арқылы дәрежелік қосындыларды
өрнектеу … … … … … … … … 16
1.5 Негізгі теореманың
дәлелдеуі … … … … … … .. … … … … … … … … … … ..
… … .17
1.6 Симметриялық көмпүшелердің элементар алгебрада қолданылуы. Теңдеулер
жүйесінің
шығарылуы … … … … … … .. … … … … … … … … … … ..
… … 18
1.7 Қайтарымды
теңдеулер … … … … … … .. … … … … … … … … … … ..
… … … … …23
1.8 Симметриялық көпмүшеліктерді көбейткіштерге
жіктеу … … … … … … … . .28

2 Үш айнымалысы бар симметриялық теңдеулер

2.1 Үш айнымалысы бар симметриялық теңдеулердің
анықтамасы … … … … …30
2.2 Үш айнымалысы бар симметриялық көпмүшеліктер туралы негізгі
теорема … … … … … … … … … … … … … … … … … ..
… … … … … … … … … … … … …31
2.3 , , арқылы дәрежелік қосындыларды өрнектеу
… … … … … … … … .32
2.4 Бірмүшелердің
орбиталары … … … … … … . … … … … … … … … … … ..
… … … .34
2.5 Негізгі теореманың
дәлелдеуі … … … … … … .. … … … … … … … … … … ..
… … .38
2.6 Кері дәрежелік
қосындылар … … … … … … . … … … … … … … … … … ..
… … … .40

3 Екі және үш айнымалыдан құралған симметириялық көпмүшелер есептердің
шығарылуы және қасиеттерін жалпылау

3.1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелерге арналған
есептер … … … … … … … … … … … … … … … … … ..
… … … … … … … … … … … … … 42
3.2 Үш айнымалысы бар симметриялық көпмүшеліктерге арналған
есептер … … … … … … … … … … … … … … … … … ..
… … … … … … … … … … … … … 48

Қорытынды
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..
. … … … … … … … … 52
Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі … … … … … … … . … … … … … … … … … … ..
… ..54

Кіріспе

Дипломдық жұмыс әртүрлі алгебралық есептерді шешуге арналған тиімді
әдістерді қолдану жөнінде жазылған. Дипломдық жұмыс кіріспе, үш негізгі
бөлімдерден, қорытындыдан тұрады. Мектепте алгебралық теңдеулер жүйелерін
шешу кезінде ереже бойынша бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектеу әдісін
қолдану ұсынылады. Бірақ жоғарғы дәрежелі теңдеулер жүйелерін шешуде бұл
әдісті қолданып теңдеулер жүйелерінің дәрежелері жоғарлатып аламыз. Ал 4-
ші және одан да жоғарғы дәрежелі теңдеулерді шешу оқушыға қиындық әкеледі.
Симметриялық көпмүшеліктердің қасиеттеріне негізделген әдіс,
универсальді емес, бірақ қандай да бір анықталған шарттарға сүйенсек,
теңдеулер жүйелерінің дәрежелерін төмендетуге болады. Сонымен қатар бұл
әдіс басқа да алгебралық есептерді шешуге көмектеседі. Бірінші бөлім екі
айнымалыдан құралған симметриялық көпмүшелер телориясының түсініктері мен
фактілерін мазмұндауға арналған. Дипломдық жұмыс үш бөлімнен тұрады.
Бірінші бөлімде екі айнымалысы бар симметриялық теңдеулер жайында айтылады.
Мұнда симметриялық көпмүшеліктерге мысалдар келтірілген, екі айнымалы
бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема, симметриялық
көпмүшеліктерді және арқылы дәрежелік қосындыларды қалай
өрнектеу керек екені, негізгі теорема және оның дәлелдеуі, теңдеулер
жүйесінің шығарылуы, екі айнымалысы бар симметриялық теңсіздіктер және
оларға мысалдар қарастырылған және қайтарымды теңдеулер жайлы айтылған.
Екінші бөлімде үш айнымалысы бар симметриялық теңдеулер жайында айтылады.
Мұнда симметриялық көпмүшеліктерге мысаладар келтірілген, үш айнымалы
бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема, симметриялық
көпмүшеліктерді , және арқылы дәрежелік қосындыларды қалай
өрнектеу керек екені, негізгі теорема және оның дәлелдеуі, теңдеулер
жүйесінің шығарылуы, үш айнымалысы бар симметриялық теңсіздіктер, оларға
мысалдар қарастырылып және қайтарымды теңдеулер арқылы шығару әдістері
көрсетілген.
Үшінші бөлімде екі және үш айнымалыдан құралған симметириялық көпмүшелер
есептердің шығарылуы және қасиеттерін жалпылау енгізіледі.
Дипломдық жұмыстың өзектілігі: Егер есептің симметриялық шартын
қолдансақ, элементар алгебраның көптеген есептерін шешу оңайға түседі. Бұл
дипломдық жұмыста теңдеулер жүйесін, иррационал теңдеулерді, теңсіздіктерді
шешкенде, теңсіздіктерді дәлелдегенде симметриялық көпмүшеліктерді қолдану
жайлы айтылады. Бұл барлық есептер симметриялық көпмүшеліктер теориясына
негізделген әдіспен шығарылады.
Мектеп оқулықтарында симметриялық көпмүшелерге арналған есептер көп
кездеседі. Мектеп оқушыларына алгебраның ең қиын бөлімі жоғары дәрежелі
теңдеулер жүйесі бөлімі болып саналады. Бірінші дәрежелі теңдеулер жүйесі
ешқандай қиындық туғызбайды. Квадраттық теңдеулерді шешудің стандартты шешу
жолы бар. Ал бірақ жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу оқушыға қиынға соғады.
Бұл дипломдық жұмыста қарастырылатын әдістің ерекшелігі жоғарғы дәрежелі
теңдеулердің дәрежесін көбейтпейді, керісінше теңдеулер дәрежелерін
азайтады. Бұдан есепті шешу оңайға түседі.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Жоғары дәрежелі теңдеулер жүйелерін
симметриялық теорияны қолданып жалпы әдіспен шешу, элементар математика,
алгебрада симметриялық көпмүшеліктердің қасиеттерін қарау, есептерді
шығарып көрсету. Бұл әдіс универсалды емес және ерекше де емес. Себебі,
барлық жүйелерге қолданыла бермейді. Бірақ бұл әдіс көптеген жүйелерде
қолданылады және оқушыға көп кездеседі. Бұл әдіс симметриялық көпмүшеліктер
деп аталатын теорияға негізделген. Бұл теория өте қарапайым және көптеген
алгебралық теңдеулер жүйесін шешіп қоймай, басқада алгебралық есептерді
(иррационал теңдеулерді шешу, теңдеулер мен теңсіздіктерді, көбейткіштерге
жіктеу және т.б.) шешуге көмектеседі.
Ол үшін біз екі айнымалы негізінде үш айнымалы көпмүшеліктердің
қасиеттерін қараймыз.
Дипломдық жұмыстың міндеті: Симметриялық көпмүшеліктерді мынадай есептер
шешу үшін қолданамыз:
1) алгебралық теңдеулер жүйесін шешу;
2) иррационал теңдеулер жүйесін шешу;
3) квадрат теңдеулердің есептерін шешу;
4) жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу;
5) қайтарымды теңдеулерді шешу;
6) жоғары дәрежелі теңдеулерді симметриялық көпмүшеліктерге жіктеу арқылы
теңдеулерді шешу.
Жұмыста келесі мәселелер қарастырылады:
Теорема: Егер және көпмүшеліктергінің орнына және —
ті қойсақ, олар симметриялық көпмүшелікке айналып, бейнеленеді:
.
Дәрежелік қосындыны есептеу тәсілі: -ның өрнегі және
арқылы беріледі. Ол келесі түрде беріледі (екі айнымалы үшін):

Дәрежелік қосындыны есептеу тәсілі: Рекурренттік қатынас болып
табылатын дәрежелік қосындының арқылы өрнектеуді алғашқы
дәрежелік қосындылырды тапқаннан кейін ғана табуға мүмкіндік береді. Бірақ
оның көмегімен нақты дәрежелік қосындының өрнегін арқылы
табуға болады (үш айнымалы үшін). Бұл өрнек төмендегідей:

1 Екі айнымалысы бар симметриялық теңдеулер

1.1 Екі айнымалысы бар симметриялық көпмүшелер және оның шығу тарихы

Табиғатта, техникада және тұрмыста кейбір денелердің өзара ұқсас,
үйлесімді орналасуын симметрия деп атайды. Симметрия грек сөзінен алынған
үйлесім сөзі сияқты бірдей өлшемділікті, белгілі бір реттілікпен
орналасқан деген ұғымды білдіреді.
Симметрия ұғымымен барлық жерде – табиғатта, техникада, өнерде,
ғылымда жиі ұшырасамыз. Симметрия ұғымы адам шығармашылығының көпғасырлық
тарихымен тығыз байланысты. Симметрия принципі физика мен математикада,
химия мен биологияда, техника және архитектурада, поэзия мен музыкада
маңызды роль атқарады.
Симметрия табиғаттың негізгі фундаментальды қасиеті болып табылады.
Ескерткіштерді археологиялық зерттеулер нәтижесі адамзаттың мәдениетінің
қалыптаса бастаған кезеңінен бері олардың симметрия туралы ұғым болғанын
және суреттер мен тұрмыстық заттарында бейнелеп көрсете білгенін дәлелдеді.
Өзінің барлық өмірін симметрияны зерттеуге арнаған академик А. В. Шубников
(1887 – 1970) симметрияны алғашқы өндірісте қолану тек эстетикалық мотивке
негізделмеген, сондай-ақ белгілі мөлшерде дұрыс формаларды практикада
қолданудың жарамдылығына деген адамның сенімділігіне де байланысты болған
деген ұйғарым жасады.
Симметрия органикалық емес, әлем мен тірі табиғатта түрлі құрылымдар
кездеседі және маңызды рөлге ие.
Симметрия әр түрлі болады. Симметрияның ең қарапайым түрі – түзуге
қатысты симметрия. Егер түзу бойымен бүктегенде жазықтықтағы екі фигура бір-
бірімен беттесетін болса, ондай фигуралар түзуге қатысты симметриялы
фигуралар деп аталады.
Симметриялы фигуралар өзара тең болады.
Егер түзу фигураны симметриялы екі бөлікке бөлсе, онда ондай фигура
осьтік симметриялы фигура деп аталады, ал түзу сол фигураның симметрия осі
деп аталады. Тік төртбұрыш, квадрат, шеңбер – осьтік симметриялы фигуралар.
Тік төртбұрыштың екі симметрия осі бар, квадраттың төрт симметрия осі бар.
Шеңбердің кез келген диаметрі арқылы өтетін түзу оның симметрия осі болады.
Сондықтан шеңбердің симметрия осьтері шексіз көп. Бұрыш – осьтік симмтриялы
фигура. Бұрыштың симметрия осі бойындағы бұрыштың төбесінен басталатын
сәулені биссектриса деп атайды. Бұрыштың биссектрисасы оны градустық
өлшемтері тең екі бұрышқа бөледі.
Симметрияның екінші түрі – нүктеге қатысты симметрия.
О нүктесіне қатысты симметриялы нүктелер фигураның өзінде жатса, ол
фигура центрлік симметриялы фигура деп аталады. О нүктесі фигураның
симметрия центрі деп аталады. Тік төртбұрыш, шеңбер, кесінді – центрлік
симметриялы фигуралар. Тік төртбұрыштың қарама-қарсы төбелерін қосатын
кесінді диагональ деп аталады. Тік төртбұрыштың диагональдарының қиылысу
нүктесі – оның симметрия центрі. Шеңбердің симметрия центрі – шеңбердің
центрі болатын О нүктесі. Кесіндіні тең екі бөлікке бөлетін О нүктесі –
оның симметрия центрі.
Координаталық жазықтықтағы координаталар басы О нүктесіне катысты
симметриялы нүктелердің координаталары қарама-қарсы сандар болады.
Табиғатта симметрияның 2 түрі билатеральды және радиальды
кездеседі. 19 ғасырдың зерттеулер нәтижесінде Жердің тарту күші әсерінен
табиғаттағы формалар әрбір нүктесінде конустық симметриялы болатыны жөнінде
айтылған болатын. Табиғаттағы денелер формасы осы заңға бағынады: Өсетін
немесе вертикаль қозғалатындар, яғни жер бетіне қатысты жоғары-төмен
қозғалатындар радиальды симметрияға, ал жер бетіне қатысты горизанталь
өсетін немесе қозғалатындар билатеральды симметрияға бағынады.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4
1

1 5 10 10 5
1

1 6 15 20 15 6
1

Оқушыларға алгебрадағы ең қиын бөлімдерінің бірі жоғары дәрежелі
теңдеулер жүйесін шығару болып табылады.
Бір белгісізбен квадраттық теңдеулер үшін

(1.1.1)

стандартты түрін көрсететін мынадай формула шығады:

,
(1.1.2)

Бірінші дәрежелі теңдеулер үшін де стандартты түрде шығарылуы бар
(белгісізді жою, коэффициенттердің теңдігі және т.б.). Бірақ жоғары
дәрежелі теңдеулерді шығару үшін қиынырақ болады.
Көбінесе мұндай жүйелерді шығарғанда белгісіздерді жою әдісі
қолданылады. Келесі мысалда бұл әдіс көрсетіледі:

Бірінші теңдеуде -ті арқылы өрнектейік. Біз таптық.
Екінші теңдеуде -тің орнына мәнін қояйық, сонда жаңа теңдеуде
бір ғана белгісіз мүшесі шығады:

,

өрнекті ықшамдағаннан кейін мынадай теңдеу шығады:

,

оны шығара отырып, екі түбірін табамыз:

, .

Табылған әрбір түбіріне -тің мәні сәйкес келеді ( арқылы
табылатын):

, .

Тексеру кезінде жауаптарының екеуі де

теңдеулер жүйесін қанағаттандыратынын көрсетеді.
Белгісіздерді жою әдісі жалпы болып табылады. Теориялық жағынан
қарағанда, кез келген жүйеден екі алгебралық теңдеуде екі белгісіз үшін бір
белгісіз мүшені жойып екінші белгісіз мүшесі болатын теңдеуді шығаруға
болады. Бірақ белгісіздерді жою әдісі әрқашанда тиімді болмайды. Кейбір
жағдайларда белгісіздерді жою әдісі жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесіне
әкеліп соқтырады (жүйе арқылы шығарылу, қиындық туғызады). Егер бірінші
теңдеулер жүйесінің (екі белгісіз мүшелері болса) дәрежесі n, ал
екіншісінің дәрежесі m болса, онда жоюдан кейін, анықтама бойынша, mn
дәрежесіндегі теңдеу жоғары алгебрада бар екенін дәлелдейді.
Мысалы, мынадай жүйені алайық

Бірінші теңдеуден: табайық, одан

.

Сол сияқты екінші теңдеуден: шығады.
үшін екі жағын теңестіріп, тек бір белгісіз бар теңдеу шығады:

.

Бірақ бұл теңдеу 6-шы дәрежелі ( — жоғары алгебрадағы айтылған
теоремаға қатысты), ал формулалар 6-шы дәрежелі теңдеулерді оқушылар шығару
үшін қолданылады. Жоқ! Бұл әдіс бізді қиын жолға әкеледі.
Бұл қиындықтар туғанда жою әдісі (жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін
шығарғанда) мектепте сирек қолданылады. Көбінесе бұл жүйені жасанды әдіспен
шығарады. Бірақ жалпы анықтама бойынша мұндай әдістер қолданылмайды. Әрбір
жүйе өзінің тәсілімен шығарылады, және бір жүйені шығару кезінде алынған
тәжірибе, екінші жүйені шығару кезінде аз көмек береді. Нәтижесінде
мектептегі математикада бұл бөлім оқушыларға өте қиын болып көрінеді және
әрбір жүйенің шығару тәсілдері әр түрлі болып келеді.
Бұл дипломдық жұмыста жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесінің жалпы шығару
әдісінің тиімді жолдары көрсетіледі. Бұл әдістер жою әдісі сияқты барлығына
қолданыла бермейді, ол кез келген жүйеге сәйкес келмейді. Бірақ бұл әдісті
оқушылар көбінесе барлық жүйелерге қолданылады. Расында да жою әдісімен
салыстырғанда бұл әдіс теңдеудің дәрежесін жоғарлатпай, керісінше
төмендетеді.
Айтылып отырған әдіс симметриялық көпмүшеліктер теориясына сүйеніп
шығарылады. Кез келген адам бұл әдіске қарап мынадай жағдайларды ескереді:
өте жиімді және жеңіл; алгебралық жүйелерді шығаруға көмектеседі
(иррационалдық теңдеулерді шығару, тепе-теңдіктер мен теңсіздіктерді
дәлелдеу, көбейткіштерді жіктеу және т.б.). Бұл дипломдық жұмыста есептер
шығарылып көрсетіледі. Есептердің ішінде күрделі есептер шығарылып, ал
кейбіреулері математикалық олимпиадаларда да қолданылады. Симметриялық
көпмүшеліктер теориясы көмегімен бұл күрделі есептердің шығару жолы
жеңілдетіледі, стандарт түрге келеді.
Жалғыздық теоремасы 1.1.1: Егер және көпмүшеліктергінің
орнына және -ті қойсақ, олар симметриялық көпмүшелікке
айналып, бейнеленеді: .
болғандағы жалғыздық теоремасының бір ғана бөлігін дәлелдесек
жеткілікті болады. Сонда келесі тұжырымның дәлелдемесі жеткілікті:
(1.1.1) көпмүшелікке , орнына қойып, егер ол нөлге
айналса, онда тепе-тең нөлге тең болады.
Жалғыздық теоремасы (1.1.1) тұжырымнан шығатынын көрсетейік.
және көпмүшелікке , орнына қойғанда бірдей нәтиже береді
деп алайық: . Сонда көпмүшелігі сол орнына қою кезінде нөлге
айналады:

. (1.1.3)

Сонда (1.1.1) тұжырымы дұрыс болса, онда және .
(1.1.1) тұжырымдамасын дәлелдеу үшін бізге екі айнымалысы бойынша
үлкен мүшенің көпмүшелігі туралы түсінігі керек. және — х және
у бойынша алынған екі бірмүшелік болсын. Үлкендік х болғанда
көрсеткіштерін салыстырып, ал олар тең болған жағдайда у-тің көрсеткішін
анықтайық. Басқа сөзбен айтқанда, km не ln болса, бірмүшесі —
нан үлкен. Мысалы, бірмүшесі -ден үлкен, ал бірмүшесі
-тен үлкен. Егер үлкен -нан, ал үлкен -дан
болса, онда үлкен -дан екені белгілі.
Келесі лемманы дәлелдейік:
Бірмүшенің үлкен мүшесі, жақшаны ашқаннан кейін

, (1.1.4)

тең.
Расында да (1.1.4) өрнегін былай көрсетуге болады:
.
k рет
Ең үлкен көрсеткіші болған мүше х бойынша шығады, егер әрбір жақшадағы х-ті
алсақ. Сонда жақшалардың саны k-ға тең болса, онда бұл мүшенің түрі
болады. Ал басқа жағдайларда х бойынша көрсеткіш k+l-дан кіші. Сонда
— үлкен мүше болады. Лемма дәлелденді.
(1.1.4) өрнегі бірмүшелігінен шығады, егер , -терді
орнына қойсақ. Сонда дәлелденген лемма бірмүшесі бойынша үлкен мүшені
бірден тауып жазуға болатынын көрсетеді. Ал тапсырылған үлкен мүшесі
бойынша бірмүшені табу керек. Мысалы, бірмүшелікке ,
орнына қойғаннан және жақшаны ашқаннан кейін көпмүшелігі үлкен
мүшесінен шығады. Егер үлкен мүшесі тапсырылса, онда бірмүшесі
орындалады.
Енді (1.1.1) тұжырымдамасының сөйлемін дәлелдеуге көшейік. Бізге
көпмүшелігі нөлден өзгеше болғанын білсек, онда , орнына
қойғаннан кейін нөлге айналуы мүмкін.
көпмүшелігі мынадай түрде болсын:

.
-ден k+l бойынша ең үлкен мән болатын мүшелерді таңдайық. Таңдалғаннан
ең үлкен мән l болатын мүшені алайық (ондай мүше тек біреу ғана, k+l және l
сандары бірорынды k-мен анықталады).
Мысалы, егер

болса, онда біз бірінші , , мүшелер тобын алып, содан кейін
олардан аламыз.
Енді біз бірмүшесін алдық делік. Оған үлкен мүшесі
сәйкес келеді. Бұл мүше барлық мүшелерден үлкен екенін көрсетіп,
көпмүшелігіне , орнына қойғаннан кейін және жақшаларды ашқаннан
кейін мүшелерге қатысты -дан шыққанда, — барлық мүшелерден
үлкені болғаны белгілі. Енді басқа қосылғышты алайық, болсын делік.
Бұл қосылғышқа үлкен мүшесі жауап берсін. Сонда бірмүшелігінде
біз m+nk+l немесе m+n=k+l болады, бірақ nl. Екі жағдайда да мүшесі
үлкен, -ке қарағанда. Ол барлығына қарағанда үлкен, қосылғыштан
шыққанда.
Біз — барлық мүшелердің ең үлкені болатынын дәлелдедік (,
-ті көпмүшелігіне қойғаннан және жақшаларды ашқаннан кейін).
Сондықтан оның ұқсас мүшелері жоқ және оған ұқсас мүшелер келтіргенде
жойылмайды. Онда көпмүшесі нөлге тепе-тең болмайды. Шыққан қарама-
қайшылық (1.1.1) сөйлемді дәлелдейді. Онымен бірге жалғыздық теоремасы да
дәлелденді.
Варинг формуласы. Дәрежелік қосындыны есептеу тәсілі формула бойынша
шыққан. Оның бір кемшілігі: -ның өрнегін табу үшін, одан бұрынғы
барлық қосындыларды есептеу керек. Ал кейде бізге оның керегі жоқ,
және арқылы -ның өрнегін бірден тауып алсақ. Соған қатысты
формула 1779 жылы ағылшын математигі Эдуард Варинг ашты. Ол келесі түрде
беріледі:

(1.1.5)

Бұл формуладан қосындының пайда болу заңын түсінуге қиын емес.
дәрежелік қосынды х және у бойынша k дәрежесінің көпмүшелігі болса. Бірақ
— бірінші дәрежелі көпмүшелік, ал — екінші дәрежелі бірмүшелік
(х және у-ке қатысты). Егер -ні m дәрежеге шығарсақ, онда өрнегі
шығады. бөлігіне тек k-2m дәрежесі қалады. Сондықтан өрнегіне
және түріндегі қосылғыштардан шыққан, мұндағы m – нөлден бүтін санға
дейін өзгереді, бірақ -ден кіші болады.
коэффициенті бөлшек болып, алымында тұрып, ал бөлімі
және сандарының көбейтіндісі болады (мұны есте сақтау қиын
емес: және дәрежелердің көрсеткіштері болып табылады,
және осы қосылғышқа кіреді). Содан басқа коэффициенттері
кезекпен таңбаны ауыстырып отырады. бойынша коэффициенті сол заңмен
пайда болды. қосылғышы нөлдік дәрежеге кіреді, ал екені
белгілі. Бұл формуладағы оң жақ қосылғыштары бір тәсілмен өрнектеледі

мұндағы m-нің мәні 0,1,2,… өсе береді, k-2m көрсеткіші теріс емес (үлкен
бүтін санға дейін, бірақ -ден кіші).
Математикада жиі қосындылар кездеседі, олардың қосылғыштары бір-
біріне ұқсас болады. Дәлірек айтсақ, өрнегінен шығады, бірақ m-нан
тәуелді болады. Осы қосындылардың түрі мынадай

,

m қандай мән қабылдайтынын қосымша көрсету керек. Мысалы, егер m саны
нөлден р-ға дейін барлық бүтін мәндерді қабылдайтын болса, ол қосындыны
мынадай түрде жазуға болады:
.
Басқаша,
.

белгісін қолдансақ, біз формуланы мынадай түрде көшіре аламыз.

,

Мұндағы, р-ең үлкен бүтін сан, бірақ -ден кіші. Келешекте біз m-нің
өзгеруін түсіреміз.
Варинг формуласы көмегімен дәрежелік қосынды , формуласын
тағы шығарамыз, 1-кестедегі.

1-кесте
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic
][pi
c]

Варинг формуласының дәлелденуін математикалық индукция тәсілімен
шығарамыз. k=1 болғандағы мынадай түрге келеді

,

ал k=2 болғандағы түрі
.

Сонда k=1 және k=2 болғанда Варинг формуласы дұрыс болады.
Варинг формуласы үшін дәлелденіп, дұрыс болды делік. Оны
үшін дәлелдеуде (1.1.5) формуланы қолданайық. Бізде:

.

Екінші қосылғышта -ді -мен ауыстырамыз. Сонда екі қосылғышты
біріктіруге болады:

Бірақ

осы өрнектен жақшада шығады

Сонымен болғандықтан, бізге керекті қатынасты аламыз

Варинг формуласы дәлелденді.

1.2 Симметриялық көпмүшеліктің анықтамалары

Симметриялық көпмүшелік ұғымын келесі мысалдар арқылы көрсетейік.
Солардың ішінде ең күрделілері жоғарғы дәрежелі теңдеулер жүйелерін
таңдадық. Бұл мысалдар келесіден алынған [1].
Мысалы:

1) 2)

3) 4)

Бұл барлық жүйелердің бір жалпы қаситі – және бірдей
кіретін сол жақтарында көпмүшеліктер бар теңдеулер. Сондай теңдеулер
жүйесіне мынадай тәсілдер қолданылады.
және бірдей кіретін көпмүшеліктер симметриялық
көпмүшеліктер деп аталады. Яғни,
және бойынша көпмүшеліктер симметриялық көпмүшеліктер дейміз,
егер
-ті -пен, ал -ті -пен алмастырғанда өзгермейтін
болса.
— симметриялық көпмүшелік, ал — симметриялық көпмүшелік
болмайды. -ті -пен, ал -ті -пен алмастыратын болсақ, ло
мына түрге келеді бұл көпмүшелік бастапқыға тең болмайды.
Енді негізгі симметриялық көпмүшеліктерге мысалдар келтірейік.
Қосылғыштардың орындарын ауыстырғанмен қосындының мәні өзгермейтіні бізге
арифметикадан белгілі , мұндағы , кез келген сандар. Бұл
тепе-теңдік көпмүшелігі симметриялық екенін көрсетеді. Сол сияқты
көбейтудің коммутативтік заңдылығы көбейтіндісі симметриялық
болатынын көрсетеді. және көпмүшеліктері ең қарапайым
симметриялық көпмүшеліктер болып табылады. Оларды және бойынша
элементарлық симметриялық көпмүшеліктер деп атайды. Оларды және
арқылы белгілейді:
, . (1.2.1)

және -ден басқа , , …, , … дәрежелік
қосындылыр кездеседі. көпмүшелігін деп белгілеу қалыптасқан.
Сонда:

(1.2.2)

1.3 Екі айнымалы бойынша симметриялы көпмүшеліктер туралы теорема

Симметриялық көпмүшеліктерді алу үшін жеңіл әдіс бар. Симметриялық
емес кез келген және бойынша көпмүшеліктерді алып, және
-нің орнына және қояйық. және бойынша
симметриялық көпмүшелігі шығатыны белгілі (, -ті -пен
немесе -ті -пен алмастырғаннан және көпмүшеліктері
өзгермейді). Мысалы, көпмүшеліктерінен мынадай симетриялық көпмүшелік
шығады:

.

Сонымен, және көпмүшеліктерді алып, және -нің
орнына , -ті апарып қойсақ, онда және бойынша
симмметриялық көпмүшелігі шығады.
Бұл әдіс арқылы кез келген симметриялық көпмүшелікті алуға бола ма? –
деген сұрақ туындайды.
Мысалдарды қарастырудан кейін бұл тұжырым ақиқат екеніне көз
жеткіземіз. Мысалы, , , , дәрежелік қосындылар
және арқылы жеңіл өрнектеледі:

(1.3.1)

симметриялық көпмүшелікті келесі түрге келтірейік:

.

Қандай болсын қиын немесе жеңіл симметриялық көпмүшелікті алсақ та,
оларды және рақылы өрнектеп шығаруға болады. Осы мысалдардың
негізінде келесі теореманың ақиқаттығы шығады:
Теорема 1.3.1: Кез келген және бойынша симметриялық
көпмүшеліктерді және арқылы өрнектеуге болады.
Әрине миллиондаған мысалдар қарастырсақ та, ол бізге дәлелдеудің орнын
толықтырмайды.
Математика тарихынан бізге бірнеше қателікті көрсетеді. Француз
математигі Пьер Ферма сандарын қарастырғанда, болса, онда бұл
сандар жай сандар болатынын тауып, енді кез келген сан болса да жай
сан болады деп ұйғарды. Бірақ ол тұжырымды Леонард Эйлер жалған екенін
дәлелді. болғанда онтаңбалы саны шықты, ол жай сан болмайтынын
көрсетті (өйткені шыққан сан 641-ге бөлінеді).
Эйлердің көмегімен көрсетілген басқа мысал. үшмүшелікке —
нің орнына 0-ді қойсақ, онда 41 жай саны шығады. болғанда, 43 жай
саны шығады. сандарын үшмүшелікке қойсақ, жай сандар шыға береді.
кез келген бүтін сандар үшін үшмүшелігі жай сандар үшін
орындалады. Бірақ бұл тұжырым да қате! сандары үшін шынымен де
орындалады. Бірақ болғанда үшмүшеліктің мәні мынадай бұл сан
құрама сан. Бұл мысалдар бізге дәлелдеудің жалпы түрі керектігін көрсетеді.
Көрсетілген теореманың дәлелдеуіне келеміз.

1.4 және арқылы дәрежелік қосындыларды өрнектеу

Алдымен симметриялық көпмүшеліктердің кез келгеніне емес, тек
дәрежелік қосындыларға қатысты теореманы дәлелдейміз. Басқаша айтқанда,
мынаны анықтаймыз
әрбір дәрежелік қосындыны және арқылы өрнектелген
көпмүше түрінде көрсетуге болады.
Сондықтан біз теңдеуінің екі жағын да -ге көбейтеміз.
Сонда:

Сонымен,
. (1.4.1)

Бұл формуладан теореманың ақиқаттығы шығады. Шынымен де және
дәрежелік қосындыларды және арқылы көпмүшеліктерге
жіктелетінін біз бұрын да тексердік. , , , ,
дәрежелік қосындылар және арқылы көпмүшеліктерге жіктелетінін
білетін болсақ, онда (1.4.1) формулаға қойған кезде біз және
арқылы өрнектелген дәрежелік қосындыны аламыз. Басқа сөзбен айтқанда,
біз және -ні біле отырып және арқылы дәрежелік
қосындыларды бірінен соң бірін таба аламыз. (1.4.1) формула бойынша —
ті табамыз, содан соң , және т.с.с.. Ерте ме кеш пе біз кез
келген дәрежелік қосынды үшін және арқылы
өрнектелеген өрнекті таба аламыз. Сонымен біздің тұжырымдамамыз дәлелденді.
Дәлелдеменің негізін қалайтын (1.4.1) формула дәрежелік
қосындыны және арқылы өрнектеуге болатынын ғана емес, сонымен
қатар бірінен соң бірін дәрежелік қосындыларды және
арқылы есептеп табуға болатынын анықтайды. Сонымен (1.4.1) формула арқылы
біз бірінен соң бірі мыналарды таба аламыз:

;
; (1.4.2)
;

және т.б.. 1-кестеде , , , дәрежелік қосындылардың
және арқылы өрнектелген түрі берілген. Бүл өрнектерді есеп
шығарған үшін қолдануға болады.
1-кесте
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic [pic
] ]
[pic
][pi
c]

1.5 Негізгі теореманың дәлелденуі

1.3.1 теореманың дәлелдеуін енді аяқтау қиынға түспейді. Кез келген
және арқылы өрнектелген симметриялық көпмүшелік (ұқсас
мүшелерді біріктіргеннен кейін) екі түрлі қосылғыштан құралады.
Біріншіден, х және у дәрежелері бірдей болса, олар бірмүшелік болып,
мынадай түрге келеді. Бізге белгілі

, (1.5.1)

сонда осы түрдегі бірмүшеліктер арқылы өрнектеледі.
Екіншіден, х және у-қа қатысты дәрежелері әртүрлі бірмүшеліктер болуы
мүмкін. түрдегі, мұндағы болады. Егер х және у-тің орындарын
ауыстырсақ, бірмүшелігі бірм.шелігіне ауысатынын белгілі.
Басқаша айтқанда, симметриялық көпмүшелікке мынадай екімүшесі кіреді.
болса, біз бұл екімүшелікті келесі түрде жаза аламыз:

. (1.5.2)

Ал дәлелдеуіміз бойынша дәрежелік қосынды және арқылы
өрнектеліп орындалады.
Сонда әрбір симметриялық көпмүшелік бірмүшелік және
екімүшеліктің қосындысы түрде көрсетіледі, әрбіреуі және арқылы
ажыратылады. Кез келген симметриялық көпмүшелік және көпмүшелік
түрде көрсетіледі. Енді теорема толық дәлелденді деп есептеуге болады.
Мысалды қарастырайық. Симметриялық көпмүшелік берілсін

.

Оны бірмүшелікке және екімүшелікке ажыратсақ, дәлелдеме бойынша мынаны
аламыз:

,

немесе,

.

және дәрежелік қосындыларды өрнекке қойсақ (1-кестеге қарап),
онда мынаны аламыз:

.

1.6 Симметриялық көмпүшелердің элементар алгебрада қолданылуы.
Теңдеулер жүйесінің шығарылуы

Алдыңғы бөлімнен біз барлық теңдеулер жүйелері өте жеңіл
шығарылатынын көрдік. Біз алдында айтып кеткендей сол жақ бөлігі және
айнымалыларынан симметриялы тәуелді болатын теңдеулер жүйесі жиі
кездеседі. Бұл жағдайда және жаңа айнымалыларына көшу өте
ыңғайлы. 1.3.1 теоремаға сүйенетін болсақ, онда ол әрдайым орындалады.
Бұндай жаңа айнымалыларға көшу әдісінің тиімділігі – теңдеудің дәрежесі
төмендейді (өйткені көпмүшесі және -тан алынған екінші
дәрежелі көпмүше). Басқа сөзбен айтқанда, және арқылы
өрнектелген теңдеуді шешу алғашқы берілген теңдеуден шешу жеңілірек.
және -нің мәндері табылғаннан кейін алғашқы және
айнымалылардың мәндерін табу қажет. Оны мектеп курсынан белгілі келесі
теорема арқылы орындауға болады:
Теорема 1.6.1: және екі кез келген сан.

(1.6.1)
квадрат теңдеуі және
(1.6.2)

теңдеулер жүйесі бірін-бірімен байланысты: егер , — (1.6.1)
теңдеуінің шешімдері болса, онда (1.6.2) теңдеулер жүйесінің екі шешімі
бар:

және басқа шешімі болмайды. Керісінше, егер , (1.6.2) теңдеулер
жүйесінің шешімдері болса, онда және (1.6.1) квадрат теңдеуінің
де түбірлері болады.
Дәлелдеуі. Егер және (1.6.1) квадрат теңдеуінің түбірлері
болса, онда Виет формуласы бойынша

яғни,

сандары (1.6.2) жүйенің шешімдері болады. (1.6.2) жүйесінің басқа
шешімдері болмайтынын біз соңғы сөйлемнен айқын көре отырып, оны
дәлелдейміз.
Сонымен, , (1.6.2) жүйенің шешімдері болсын. Яғни,

Онда біз мынаны аламыз:

.

Бұл және сандары (1.6.1) квадрат теңдеуінің түбірлері болатынын
білдіреді. Теорема дәлелденді.
Мысалдар қарастырайық.
1) Теңдеулер жүйесін шешу

Жаңа айнымалыларды енгіземіз , .1-кестеге сүйеніп табамыз
,

жаңа айнымаларға қатысты жаңа теңдеулер жүйесін аламыз:

Бұл теңдеулер жүйесінен тауып аламыз.
Сонымен, , шығады. Яғни, алғашқы және
айнымалыларына жаңа теңдеулер жүйесін аламыз:

Бұл теңдеулер жүйесі жеңіл шешіледі (мысалы, 18-беттегі теоремаға сүйенетін
болсақ, онда бұл теңдеулер жүйесінің шешімдер мына квадрат теңдеудің
шешімдері болады ) және біз келесі шешімдерді аламыз:

2) Теңдеулер жүйесін шешу:

Бұл теңдеулер жүйесін де солай шешеміз

,

деп аламыз да, жүйені мына түрге келтіреміз

Осыдан қатысты квадрат теңдеу аламыз

немесе
.

Бұл теңдеуден -нің екі шешімін табамыз және .
Сонымен алғашқы және айнымалыларына қатысты екі теңдеулер
жүйесін аламыз:

және

Бұл жүйелерді шеше отырып алғашқы жүйенің төрт шешімін табамыз:

Теңдеулер жүйесін ұсынылған әдіспен шешу безу теоремасы арқылы шешу
ыңғайлы. Келесі мысал осы теореманы қолдану арқылы шешіледі.
3) Теңдеулер жүйесін шешу:

Алғашқы мысалдардағыдай , жаңа айнымалыларын енгіземіз. Ол
жағдайда біздің жүйеміз келесі түрге өзгереді:

Екінші теңдеуден -нің мәнін бірінші теңдеуге қойып, айнымалысы
арқылы өрнектелген келесі теңдеуді аламыз:

,

немесе -ге көбейтіп, мына түрге келеміз:

.

-дің мәнін есептеу үшін үшінші дәрежелі теңдеуді шешудің жалпы
формуласын қолдануға болады (мұндай формуланы жоғарғы … жалғасы