Гармониялық функцияның кейбір негізгі шешімдері

Кіріспе.

Эллипстикалық теңдеулер типі.
I.Лаплас теңдеуіне әкелетін есептер.
1.1 Стационарлық жылулық өріс.
Шеттік есептерді
қойылуы … … … … … … … … … … … … … …6
1.2 Сұйықтың потенциал ағысы.
Стационар тоғының және электростатикалық өрістің
потенциалы … … … … … … . … … … … … … … … … .
… … … … … 7
1.3 Қисықсызықты координаттар жүйесіндегі
Лаплас
теңдеуі … … … … … … … … … … … … … … … … … ..
… …9
1.4 Лаплас теңдеуінің кейбір дербес шешімдері … … … … …14
1.5 Комплекс айнымалысының гармониялық және аналитикалық
функциясы … … … … … … .. … … … … … … … .15
1.6 Кері радиус – векторларды түрлендіру … … … … … … . ..18
II. Гармониялық функцяның жалпы есептері.
2.1 Грин формулалары.
Шешімнің интегралды
көрінісі … … … … … … … … … … … …20
2.2 Гармониялық функцияның кейбір негізгі шешімдері…27
2.3 Бірінші шеттік есептің тұрақтылығы
және
жалғыздығы … … … … … … . … … … … … … … … … … ..
..31
2.4 Үзілісті шекаралық шарттары бар есептер … … … … … ..32
2.5 Оқшауланған ерекше
нүктелер … … … … … … … … … … ..33
2.6 Шексіздіктегі үш айнымалысы бар гармониялық функцияның
реттілігі … … … … … … .. … … … … … … … … … 3
6
2.7 Ішкі шеттік есептер.
Екі- және үшөлшемді есептер үшін шешімнің
жалғыздығы … … … … … … . … … … … … … … … … .
… … … … .38
2.8 Екінші шеттік есеп.
Жалғыздық
теоремасы … … … … … … .. … … … … … … … … ..4 1
III.Қарапайым облыстар үшін шеттік есептерді
айнымалыларды ажырату әдісімен шешу.
3.1 Дөңгелек үшін бірінші шеттік
есеп … … … … … … … … ..45
3.2 Пуассон
интегралы … … … … … … .. … … … … … … … … ..5 1
3.3 Үзілісті шераралық мағына жағдайы … … … … … … … …55

IV. Потенциалдар теориясы.
4.1 Көлемді
потенциал … … … … … … .. … … … … … … … … … 58
4.2 Жазық
есеп … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..
..60
4.3 Меншіксіз
интегралдар … … … … … … … … … … … … … ..62
4.4 Беттік
потенциалдар … … … … … … … … … … … … … … … .69

Қорытынды … … … … … … … … … … … … … … . … ..75

Қолданылған әдебиеттер … … … … … … … … … … … … .85

Кіріспе.

Бұл дипломдық жұмыста эллипстикалық типтегі теңдеулерді шешудің
әдістері қарастырылады
Жылуды, дыбысты, жарықты электротоқты сипаттау шамасы уақытқа
тәуелді болса, онда оларды орнықсыз динамикалық процестер деп атайды.
Сонымен бірге динамикалық процестердің сипаттау шамасы уақытқа
тәуелді болмауы да мүмкін. Бұл жағдайда ол – орықты қозғалыс болып
табылады.
Мысалы, кейбір қозғалмайтын ось бойымен бірқалыпты айналып тұрған,
қатты тұйық ыдыс ішінде сығылмаған сұйық бар деп ұйғарайық. Ыдысты
толтырған сұйық, уақыттан тәуелсіз, тек х, у, z координатталардан
тәуелді жылдамдық потенциалымен қозғалады. Сұйық массасындағы
қарастырылып отырған орнықты ағысты аламыз.
U анықтамасы келесі теңдеуді интегралдау жолына әкеледі.

(1)

Осы теңдеуді U ыдыс ішіндегі барлық нүктелерде қанағаттандыру керек
(және егер уақыттан тәуелсіз болса, ол мына (0)формуласынан пайда
болады). Осыдан бастапқы шарт көңілсіз қалады да, бірақ шектік шарт
бұрынғышы орындалуы керек. Ыдыстың қабырғасына жанасқан, сұйықтың кез
келген бөлшегінің нормаль құрушы жылдамдағы қатты ыдыс нүктесінің
нормаль құрушы жалдымдығына тең болады. Осы жағдайда координат
осіндегі сұйық нүктесінің жылдамдығының u,v,w проекциясы мынадай

болса, онда х, у, z мағыналары үшін ыдыстың бетіндегі х, у, z
нүктелеріндегі сұйықтың бөлшегінің нормаль құрушысы мына өрнектің
мағынасына тең болады.

Координаталары сондай мағыналарға ие, ыдыс қабырғасындағы нүктенің
нормаль құрушы жылдамдығы белгіді, өйткені ыдыстың қозғалысы берілген
болатын, яғни оның бетіндегі нүктелерінің координаталары f=(х, у,
z) функциясымен берілген.
Сұйықты шектейтін, беттегі барлық нүктелерінде шеттік (беттік)
шартты қанағаттандыратын

U теңдеуінің шешімін табатын есепке әкелінеді.
Бұл есеп гидродинамикада негізгі болып табылады және Карл Нейман
есебі деп аталынады.
Осындай анализ есептеріне физиканың статистикалық есептері
келтіріледі, мысалы, дененің теңдес жылуы туралы есеп, Ньютонның заңы
бойынша тартылыс теория есептері және т.с.с.
Берілген беттегі контурда электр теңдесінің есебі, электрлік
массалардың U потенциалының анықтамасына әкеледі. Контур бетіндегі
үлестіру дегеніміз – контур бетінен тыс және ішінде U келесі шартты
қанағаттандырып,

(2)

кеңістіктің шексіз алыстатылған нүктесі үшін нөлге айналып кететін
және контур бетіндегі кез келген нүктесіне сыртқы жағынан х, у, z
нүктесінің жақындау барысында тұрақты шамаға ұмтылады. (9) формуласын
Лаплас теңдеуі деп атайды.
Егер контур бетіндегі нүктесінің U шектік мағынаны Uе арқылы
белгілейік, сонда (9) шарты келесі түрде болады.

Uе (3)

мұндағы .
Есеп (10) түрдегі шектік шартты қанағаттандыратын (2) теңдеуінің
шешімінің ануқтамасына тағыда әкеледі.
Бұл есепте математикалық физикада және анализда аса маңызды
Дирихле сыртқы есебінің дербес жағдайын көріп тұрмыз.
Жалпы бұл есеп екіге бөлінеді: ішкі және сыртқы болып.
Біріншісінде берілген тұйық беттің ішінде жатқан

шектік шартты қанағаттандыратын барлық нүктелер үшін Лаплас теңдеуінің
шешімін табу талап етіледі. Мұндағы — U функциясы ұмтылған
шек, ал — осы беттегі нүктелердің берілген функциясын білдіреді.
Сыртқы есепте

шектік шарт шарты болғандағы, кейбір тұйық бетке арақатынасты,
сырттай барлық нүктелерде Лаплас теңдеуін қанағаттандыратын U
функциясын анықтау талап етіледі.
Диплом бес бөлімнен тұрады. Әр бөлімде өзіне сәйкес тақырыпшалары мен
сәйкес есептері бар. Енді соларды қарастыруға көшейік.

1. Эллипстикалық теңдеулер типі.
Әр түрлі физикалық табиғаттың ( диффузия, тербеліс, жылуөткізгіштік
және т.б.) стацоинарлық процестерін зерттеу барысы эллипстикалық
теңдеулер типіне әкеледі. Осы типтің ең көп тараған теңдеуі – Лаплас
теңдеуі болып табылады.

∆u = 0

анықтама:
Егер облысында функция 2-ші ретті туындыларымен бірге
үзіліссіз және Лаплас теңдеуін қанағаттандыратын болса, онда u функциясы
гармоникалық болады .

1. Лаплас теңдеуіне әкелетін есептер.

1.1 Стационарлық жылулық өріс. Шеттік есептің қойылуы.
Стационарлық жылулық есепті қарастырайық.

∆u = 0 (1)

Стационарлық емес жылулық өрістің температурасы жылуөткізгіштік
дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады

ut= a2∆u (a2 = )

Егер процесс стационарлық болса, онда Лаплса теңдеуін қанағаттандыратын
және уақытқа байланыссыз температураның u(x,y,z) үлестіруі
орнатылады.

Жылудың шығар жері бар болғандықтан мынадай теңдеу аламыз.

∆u =-( , (= ,
(2)

Мұндағы F— жылу көзінің тығыздығы, (—жылуөткізгіштіктің коэффиценті.
Біртектілі емес Лаплас теңдеуінің (2) кейде Пуассон теңдеуі деп те
атайды.
– бетімен шектелген , кейбір көлемін қарастырайық.
дененің ішінде температураның u(x,y,z) стационарлық таралу
есебі келесідей тұжырымдалады:
ішіндегі

∆u = -f(x,y,z)

теңдеуін және шекаралық шартты қанағаттандыратын функцияны u(x,y,z)
табу керек.
Шекаралық шарт келесі түрдегідей бола алады.

I. U=f1 – ға байланысты
(бірінші шеттік есеп)

II. f2 – ға байланысты
(екінші шеттік есеп)

III. +h(u — f3 )=0 – ға байланысты (үшінші
шеттік есеп)

Мұндағы f1, f2, f3, h – берілген функциялар — Σ бетіне сырттай
нормаль туындысы.
Лаплас теңдеуі үшін бірінші шеттік есепті Дирихле есебі деп, ал
екінші шеттік есепті – Нейман есебі деп атайды.
Егер 0 облысында бетіне қатысты сыртқы шешімі табылатын
болса, онда осы есепті сыртқы шектік есеп деп атайды. Егер 0
облысында бетіне қатысты ішкі шешімі табылатын болса, онда осы
есепті ішкі шектік есеп деп атайды.

1.2 Сұйықтың потенциал ағысы. Стационар тоғының және электростатикалық
өрістің потенциалы.

Қайнар көзсіз сұйықтын потенциал ағысына мысал келтірейік. υ(x,y,z)
жылдамдығымен сипатталған стационарлық сұйық ағысы орын алады. Егер сұйық
ағысы құйынсыз болса, онда жылдамдық υ потенциалдық вектор болып табылады
, яғни

υ= — grad φ (3)

мұндағы – φ жылдамдық потенциалы деп аталатын скалярлық функция.
Егер сұйық көзі болмаса, онда

div υ= 0
(4)

(3)- өрнегін υ (4)-ке қоятын болсақ:

div grad φ=0

немесе

Δφ=0 (5)

яғни жылдамдық потенциалы Лаплас теңдеуін қанағаттандырады.
Біртекті өткізгіш ортада тығыздығы j(x,y,z) көлемі бар стационарлық
ток болсын. Егер ортада көлемді ток көздері болмаса , онда

div j= 0
(6)

Элекрт өрісі Ом заңының дифференциалынан ток тығыздығы
арқылы анықталады

(7)

Мұндағы ( — орта өткізгіштігі. Процесс стационарлық болғандықтан ,
электр өрісі құйынсыз , немесе потенциалды болып келеді[1] , яғни скаляр
функция ((x,y,z) бар болады , онда

E= -grad ( (= — (grad ()
(8)

6) және (7) формулалары арқылы қорытынды жасасақ ,

Δφ =0
(9)

Басқаша айтқанда , электр өрісі және стационарлық тоғының потенциалы
Лаплас теңдеуін қанағаттандырады.
Стационарлық зарядтан тұратын электр өрісін қарастырайық. Процестің
стационарлығынан шығатыны

(10)

яғни өріс потенциалды және

E= — grad φ
(8)

( = 1 диэлектрлі тұрақтымен сипатталған ортада (x,y,z) тығыздығы
көлемді зарядтар болсын. Электродинамиканың негізгі заңына сүйенсек

(11)

мұндағы — кейбір көлем ,S — оны шектеп тұрған бет , —
ішіндегі барлық зарядтардың қосындысы және Остроградскийдің
теоремасын
қолдансақ

(12)

онда аламыз
үшін (8) өрнекті қоятын болсақ , онда

Δφ= -4((
(13)

яғни электростатикалық потенциал Пуассон теңдеуін қанағаттандырады.
Егер көлемді зарядтар болмаса ((=0) , онда потенциал Лаплас теңдеуін
қанағаттандыруы қажет.

Δφ =0

Негізгі шеттік есептер қарастырылған процестер үшін жоғарыда көрсетілген үш
типке қатысты.

1.3 Қисықсызықты координаттар жүйесіндегі Лаплас теңдеуі.

Ортогональ қисықсызықты координаттар жүйесінде Лаплас теңдеуін
қарастырайық. Кеңістікте Декарт координаталарының x,y,z орнына

q1 = f1(x,y,z) , q2 = f2(x,y,z) , q3 = f3(x,y,z)
(14)

қатынасының көмегімен қисықсызықты координаттарый q1,q2,q3 енгізілген.
x, y, z – ке қатысты шешетін болсақ, бұлай жазуға болады.

x=φ1(q1,q2,q3) , y=- φ2(q1,q2,q3), z= φ3(q1,q2,q3)
(15)

q1=C1 , q2=C2 , q3=C3 – деп ұйғарсақ , С1, С2, С3 — тұрақтылар, онда
үш үйірлі координаталар бетін аламыз:

f1( x,y,z )=C1 , f2( x,y,z )=C2 , f3 ( x,y,z )=C3
(16)

Үш жұпты координаталар бетімен шектелген элемент көлеммен жаңа
координаталарында қарастарайық. РИСУНОК(44)
АВ қабырғасының бойында q2=const, q3=const.
АD қабырғасының бойында q1=const, q2=const.
АC қабырғасының бойында q1=const, q3=const.
AB, AD және AC қабырғаларына жанама бағытталған косинустары пропорционал
сәйкес

Қабырғалардың ортогональ шарты мынадай түрде болады.

(() (17)

Жаңа координаталарда элементтің ұзындығын есептейік.

+ +

+. (18)

Жақшаларды ашып және ортогональ шартты ескерсек , онда

(19)

формуланы аламыз.
Ал
(20)

элементарлық көлемнің әр қабырғасының бойында бір координата ғана ауысады
, сондықтан осы қабырғалардың ұзындығы үшін (19) формулаға сәйкес келіп

, , , (21)

аламыз.
Яғни , элемент көлемі мынаған тең:

(22)

Енді кейбір векторлық өрісті A(x,y,z) қарастырайық. Белгілі векторлық
анализ формуласымен анықталатын div A есептеп шығарайық.

div A= (23)

S – М нүктесі бар кейбір көлемімен шектелген бет. Осы формуланы
1 –суреттегі dv көлем элементіне қолданамыз. Орташа теоремены пайдаланып
А вектор ағынының айырымын қарама – қарсы жақтар , яғни оң және сол жақ
арқылы көрсетуге болады.

(21) — формуланы
назарға алатын болсақ , онда

(24)

Осы сияқты қарама – қарсы жақтар арқылы екі ағынның айырымын есептеп
шығаруға болады.

(25)

және

(26)

(22) – ші формуланы пайдаланып және (23) — формулаға

мәнін қоятын болсақ , онда қисықсызықты ортогональ координаталарда
дивергенция өрнегін аламыз.

div A= (27)

А өрісі потенциалды деп ұйғарсақ

A=grad u
(28)

Онда

(29)

(27) – формулада А1,А2,А3 үшін (29) формуланың өрнегін қоятын болсақ ,
онда Лаплас операторы үшін өрнек аламыз.

div grad u= (30)

Лаплас теңдеуі ∆u=0 ортогональ қисықсызықты координаталарда q1,q2
және q3 келесі турде жаэылады.

(31)

Екі дербес жағдайды қарастырайық:
1) Сфералық координаталар.
Бұл жағдайда , , және (15) түрлендіру формуласы
мынадай түрге келеді.

ds2 – ті есептейік:

ds2= (sin( cos( dr + r cos( cos(d( – r sin( sin( d( )2 +
+ (sin( sin( dr + r cos( sin(d( + r sin( cos( d( )2 +(cos( dr
– r sin( d()2 ;

Жақшаларды ашып қысқартсақ:

ds2= dr2 + r2 d(2 +r2 sin2( d(2 ,

Яғни
H1=1, H2=r, H3=r sinθ.

H1, H2, H3 мәндерін (31) формулаға қоятын болсақ, онда сфералық
координаттар ішінде Лаплас теңдеуін аламыз.

немесе

(32)

2)Цилиндрлік координаттар.
Бұл жағдайда q1= ρ, q2= φ, q3= z;

x= ρ cos φ, y= ρ sin φ, z=z.
Яғни
H1=1, H2=p, H3=1

Цилиндрлік координаттар ішінде Лаплас теңдеуі мына турге келеді.

(33)

Егер ізделінетін u функция z-тен тәуелсіз болса, онда (33) теңдеуі
ықшамдалады.

(34)

4. Лаплас теңдеуінің кейбір дербес шешімдері.

Сфералық немесе цилиндрлік симметрияға ие болған , яғни r немесе ρ
бір ғана айнымалыға тәуелді Лаплас теңдеуінің кейбір дербес шешімдері
қызығушылық тудырады.
Сфералық симметрияға ие болған Лаплас теңдеуінің u=U(r) шешімі кәдімгі
дифференциал теңдеуден анықталады.

Осы теңдеуді интегралдасақ:

табамыз.
С1 және С2 – кез келген тұрақтылар.
С1=1, С2=0 деп ұйғарсақ , келесі функцияны аламыз.

(35)

Оны кейде кеңістіктегі Лаплас таңдеуінің фундаментал шешімі деп те атайды.
Осы сияқты

u=U(ρ)

деп алып және (33) немесе (34) теңдеуін пайдаланып цилиндрлік немесе
айналма симметрияға ие болғанда (екі тәуелсіз айнымалысы бар жағдайда)

U(ρ) = C1 lnρ+C2

C1=1 және C2=0 деп алсақ , онда:

(36)

U0(ρ) – функциясын, екі тәуелсіз айнымалысы үшін кейде жазықтықтағы
Лаплас теңдеуінің фундаментал шешімі деп те атайды.
U0= функциясы ∆u=0 теңдеуін барлық жерде қанағаттандырады, бірақ
r=0 нүктесінде шексіздікке айналып кетеді. Координат басында орналасқан, е
зарядының нүктелі өрісі көбейткіш пропорционалына дейінгі дәлдікпен дәл
келеді. Осы өрістің потенциалы

Осы сияқты ln функциясы Лаплас теңдеуін барлық жерде
қанағаттандырып, бірақ ρ=0 нүктесінде оң шекпіздікке айналып кетеді
және сызықпен зарядталған өріс көбейткішке дейінгі дәлдікпен дәл келеді.
Оның потенциалы

u=2e1

е – бірлік ұзындыққа есептеліген заряд тығыздығы. Осы функциялар
гармониялық функциялар теориясында үлкен мәнге ие болғаны.

1.5 Комплекс айнымалысының гармониялық және
аналитикалық функциясы.

Лаплас теңдеуі үшін екі өлшемді есепті шешудің жалпы әдісі комплекс
айнымалысының функция әдісі қолданылады.

— кейбір z=x+iy комплекс айнымалысының функциясы , сонымен бірге u және
v , x және y айнымалылардың нақтылық функциясы болып табылады.
Аналитикалық функция үшін туындысы бар болатын функция үлкен
қызығушылықты тудырады.

Δz= ∆x +iΔy өсімшесі нөлге көп жолмен ұмтылу мүмкін.
Δz нөлге ұмтылудың әр жолына байланысты шектің өз мағынасы болады. Бірақ
ω=(z) функция аналитикалық болса, онда

шекгі таңдап алынған жолға тәуелсіз.
Аналитикалық функцияның қажетті және жеткілікті шарттары Коши – Риман
шарттары болып табылады.

(37)

Осы шарттарды келесі түрде алуға болады.
ω= u+iv=f(z) аналитикалық функция болсын, туындыларды есептегенде

Осы екі арқатынасты анықтайтын мәнінің теңдігін талап етсек , онда

Осыдан Коши-Риман шарттары пайда болады.
Комплекс айнымалы функциясының теориясында, кейбір G облысында
z=x+iy жазықтықта бар болып және аналитикалық функцияда барлық ретті
туындалар дәреже қатарына жіктеледі. Сондықтан х және у арқылы функциялар
u(x,y) және v(x,y) үзіліссіз екінші ретті туындыларға ие болады.
(37) формуланың бірінші теңдігін х арқылы, ал екінші теңдігін у
арқылы дифференциалдасақ:

немесе

Тап осылай дифференциалдау ретін ауыстыра отырып табамыз

немесе

Осылайша аналитикалық функцияның нақты және жорамал бөліктері Лаплас
теңдуін қанағаттандырады.
Кейде Коши-Риман шарттарын қанағаттандыратын u және v гармониялық
функциямен түйіндес болады.
Туындыны қарастырайық.

(38)

Өзара бірмәнді (х,у) жазықтығында кейбір G облысы (u,v) жазықтығында G’
облысына бейнеленіп , әрбір G облысының нүктесі G’ облысының нүктесіне
сәйкес келеді және керісінше , әрбір G’ облысының нүктесі G облысының
нүктесіне сәйкес келеді.

U=U(x,y)

— G облысының ішінде анықталған кейбір үзіліссіз екі ретті
дифференциалды нақты функция болсын.
Лаплса операторының функциясы

түрлендіруден кейін қалай өзгеретінін анықтайық.

Осыдан

(39)

Егер u және v гармлниялық функциямен түйіндес болса, онда
аналитикалық функцияның көмегімен жүзеге асатын түрлендіру (38)
түрлендіруге эквивалентті.

(40)

Бұл жағдайда Коши – Риман шарты u және v функция үшін мынадай
арақатынастар орындалу керек.

(39) формула мынадай турге келеді.

(41)

немесе

(41’ )

Осыдан (40) формуланы түрлендіруден кейін болса, онда G облысындағы
U(x,y) гармониялық функция , G’ облысындағы гармонялық функцияға
көшеді.

6. Кері радиус – векторларды түрлендіру.

Гармониялық функцияларды оқу барсында ылғи кері радиус – векторларды
түрлендіруі қолданылады. радиус – сферасында кері радиус –
векторларды түрлендіру дегеніміз – координат басынан, сәуледе жатқан М’
нүктесі әр М нүкте сияқты сәйкес келеді және M’ нүктенің r’радиус –
векторлары мен М нүктенің r радиус – векторлары мынадай арақатынаста
байланысты.

немесе
(42)

Маштаб ұзындығын өзгертуге байланысты a=1 деп есептейік.
Екі тәуелсіз айнымалысы υ(ρ,φ) бар гармониялық функцияны кері радиус
– векторлары арқылы түрлендіргенде, ол жай гармониялық функцияға
көшетінін көрсетейік:

((’, φ)=u((, φ) ρ=
(43)

υ(ρ,φ) функциясы және сонымен бірге ρ және φ айнымалы функциялары ретінде
функциясы осы теңдеулерді қанағаттандырады.

және

ρ’ және φ айнымалыларына көшетін болсақ , онда

Осыдан (ρ’,φ) , теңдеуін қанағаттандытады, өйткені

Үш тәуелсіз айнымалыларға көшетін болсақ , онда

(44)

функция Лаплас теңдеуін қанағаттандырады.
(44) түрлендіруін кейде Кельвин түрлндіруі деп атайды.

(45)
яғни

немесе

теңдеуін қанағаттандыратын көреміз, яғни

немесе

2.Гармониялық функцияның жалпы қасиеттері.
Шеттік есептерді шешу барысында және жалғыздық теоремасын дәлелдеу
кезінде көп қоданылатын интегралды формуланың маңызды нәтижелерінің бірі
— максималды мәннің қағидасы болып табылады. Мында Лаплас теңдеуі үшін
ішкі және сыртқы шеттік есептердің математикалық құрлымы беріледі және
бұл есептердің шешілуінің тұрақтылығы және жалғыздығы дәлелденеді.

2.1 Грин формулалары. Шешімнің интегралды көрінісі.

Остроградский формуланың тура нәтижесі Грин формулаларымен эллипстік
типтегі теңдеулерді шешу барысында жиі қолданылады.
Остроградский формуласы қарапайым жағдайда мынадай түрде болады[2].

(1)

мұнда — тегіс бетпен шектелген кейбір көлем, — ішінде
үзіліссіз және ішінде үзіліссіз туындысы бар кез-келген функция,
— — ға ішкі нормаль және z осіне бағыт арасындағы бұрыш. z
бойынша интегралдау орындасақ бұл формуланың әділдігіне көз жеткіземіз.
Остроградский формуласы көбінесе мына түрде жазылады1.

(2)

мұнда — көлем элементі, , , — координаталық осьтері бар
бетіне n ішкі нормаль бұрыштары, R, P, Q-кез келген дифференциалды
функциялар[3]
Егер кейбір вектордың компоненттері ретінде P,Q.R – ді
қарастыратын болсақ , онда Остроградскийй формуласын келесі түрде жазуға
болады.

(2‘ )

мұнда

және ішкі нормаль бойында А векторын құрастыратын

.

Енді Грин формуласының нәтижесіне келейік
және ішінде үзіліссіз екінші туындысы бар және
ішінде өздерінің бірінші туындыларымен узіліссіз болсын.

деп ұйғарып және (2‘ ) Острогралский формуласын қолдана отырып, бірінші
Грин формуласына келеміз.

(3)

мұнда — Лаплас операторы, — ішкі нормаль бағыты бойынша
туынды.
Егер

gradu gradv=

арақатынасты ескерсек, онда Грин формуласын мына түрде көрсетуге болады.

(3 ‘)
u және v функцияларын ауыстыра отырсақ:

(4)

(3 ‘) -теңдігінен (4)-тендігін азайтсақ , екінші Грин формуласын аламыз.

(5)

облысы бірнеше беттермен шектеле алады . облысын шектейтін
барлық беттер бойынша беттік интегралдарды алғанның өзінде де Грин
формулалары қолданылады.
Екі айнымалысы бар функция үшін ұқсас Грин формулалары орын
алады.С шекарасы бар S облысында екінші Грин формуласы мынадай

түрде болады. Мұнда dS=dxdy, ds-бойындағы доға элементі,
— n нормалі С контурына іштей бағытталған туынды.
— функциясы , мұндағы — M(x0,y0,z0) және М(х,у,z)
нүктелері арасындағы арақашықтық және егер болса, онда ол
Лаплас теңдеуін қанағаттандырады.
облысында екінші туындысыбар және облысында бірінші
туындысымен бірге үзіліссіз u(M) – гармониялық функция болсын.
функциясын қарастырайық.
мұндығы М0 – облысының кейбір ішкі нүктесі.
ішінде бұл функция M(x0,y0,z0) нүктесінде үздіксіздіктің үзілісі
бар болса, онда облысында және функцияларына Грин
формуласын қолдануға болмайды. Бірақ функциясы шекарасымен
— К( облысында шектелген. Мұндағы К( — бетімен және М0
нүктесіндегі центрімен ( шар радиусы. (РИС 45)
— К( облысында және функцияларына екінші
Грин формуласын қолдана отырып

(6)

формуласын аламыз.
еңдіктің оң бөлігіндегі ақырғы екі интегралы ғана ( — ге тәуелді.
— бетіндегі — К( облысына сыртқы нормаль бойынша туындыны
азайта отырып

,

табамыз.
Осыдан

(7)

* — бетіндегі u(M) функцияның орташа мәні. Үшінші интегралды
түрлендірсек

(8)

мұндағы — аясындағы нормаль туындысының орташа мәні . (7)
және (8) өрнектерін (6) формулаға қоятын болсақ және — К( облысында
екендігін ескере отырып

(9)

формуласын аламыз.
Енді ( радиусын нөлге ұмтылсын , онда:
1) үздіксіздік функция болғандықтан , — центрі М0
нүктесіндегі ( радиусының аясы бойынша оның орташа мәні.
2) , М0 нүктесі аймағындағы
нормаль туындысының шектклгендігі ішіндегі
бірінші туынды функцияларының үздіксіздігінен шығады.
3) Меншіксіз интеграл анықтамасы бойынша

Белгіленген (0 шектік көшу нәтижесінде біз негізгі интегралды
Грин формуласына келеміз.

(10)

мұндағы — бетінде жатқан координаттары бар нүкте.
Егер нүктесі обласының сыртында болса, онда
облысының барлық нүктелерінде гармониялық және үздіксіздік.
Сондықтан (10) формуласының сол жағында нөл болады.
— бетіне нүктесі жататын жағдайды қарастырайық.
нүктесінде үзіліссіз бұрыштық коэффиценттермен жанама жазықтығы
бар деп болжайық. нүктесі центрлік ( радиусының аясы
бетін қиып өтеді және оны екі бөлікке және бөледі.
бөлігі К( шарының ішінде жатыр. — 1 облысында
және -ға Грин формуласын (5) қолданамыз, мұнда 1 –
ішінде жатқан аясының бөлігімен және шектелген облысы. (9)-ға
әкелген жалпы талқылау схемасы өзгеріссіз қалады. Осы кезде
бойынша интеграл — ге ұмтылғандағын ескеру керек және (7), (8) және
(8’ )-ге сәйкес өзгерістер енгізу керек. Нәтижесінде -ді -ге
ауыстыру кезінде (10)-нан шығатын формулаға келеміз.
Барлық жағдайларды біріктіре отырып негізгі Грин формуласын мына
түрде жазайық:

(10’)

мұндығы ( мәні:

4( , егер нүктесі ішінде жатса,
2( , егер нүктесі шекарасында жатса,
0 , егер нүктесі сыртында жатса.

Егер нүктесі бетінің конустық төбесі болып табылса, онда
(=(, мұндағы (- нүктесіндегі -ға жанама құрайтын денелік
бұрыштың шамасы.
гармониялық функция үшін және (10) формуласы мына түрде
болады.

(11)

(нүктесі ішінде)
Сонымен, гармониялық функция мәні облыстың кез келген нүктесінде осы
функцияның мәні және облыс бетіндегі оның нормаль туындысы арқылы
көрініс береді. Соның өзінде функцияның және шекарасына дейін оның
бірінші туындысының үзіліссізі деп жорамалданады.

және (12)

интегралдың әрқайсысы екендігін белгілейік. Мұндағы және —
бетінен тыс гармониялық функциялар болып табылатын үзіліссіз
функциялар. Нақты алғанда , интеграл астындағы функциялар мен оның барлық
туындылары бетінен тыс үзіліссіз болғандықтан , кез келген
тәртіптегі туынды функцияларды интеграл белгісіндегі дифференциалдау
арқылы азайтуға болады.

және

функциялары айнымалысы бойынша Лаплса теңдеуін қанағаттандырса ,
суперпозиция ықпалындағы жалпылаған қағидасы, (12) функциялары да
айнымалысы бойынша Лаплас теңдеуін қанағаттандырады.
Осыдан маңызды нәтиже шығады: гармониялық облыс ішінде әрбір
гармониялық функция сансыз рет дифференциалданады. Гармониялық функция
обласында барлық нүктесінде дәрежелік қатарға жіктеледі. Оны
(11) интегралды түсінікті талқылау көмегімен көз жеткізуге болады.
Екі тәуелсіз айнымалысы бар гармониялық функция ішінде ұқсас
формулалар орын алады. S- С контурымен шектелген жазықтығында кейбір
облыс болсын., ал n- S облысына іштей қатынасты осы контурға бағытталған
нормаль.
Екінші Грин формуласына сүйенсек , мұндағы —
белгіленген нүктеден нүктеге дейінгі арақашықтық және үшөлшемді
жағдай үшін әкелінген талқылау арқылы, жазықтықтағы негізгі Грин
формуласын аламыз.

мұндығы ( мәні:

2( , егер нүктесі ішінде жатса,
( , егер нүктесі шекарасында жатса,
0 , егер нүктесі сыртында жатса.

Егер функциясы ішінде гармониялық және нүктесі
ішінде жатса, онда

.

2.2 Гармониялық функцияның кейбір негізгі қасиеттері.

Гармониялық функцияның кейбір негізгі қасиеттерін анықтайық.
10.Егер -функциясы бетімен шектелген , ішінде
гармониялық болса, онда

(13)

мұнда — ішінде түгелдей жатқан, кез келген тұйық бет.
Бірінші Грин формуласына (3’) кез келген гармониялық
функцияны және функцияны қоятын болсақ , онда бірден (13) формуланы
аламыз. (13) формуладан ,(ішінде , ) екінші шеттік есеп

шарты орындалғанда шешімін табады.
Бұл қасиет гармониялық функция қасиетін облысының ішіндегі
түпнұсқаның бағытымен түсіндіруге болады.
20. Егер -функциясы кейбір облыс ішінде гармониялық және
нүктесі ішіндегі жатқан кейбір нүкте болса, онда мына
формула орын алады.

(14)

мұнда — ішінде түгелдей жатқан, нүктесі центр болып
келетін радиус сферасы (орташа мағына теоремасы).
Бұл теореманың тұжырымдалуы бойынша, егер сферасы
гармониялық функцияның облысынан тыс шықпаса, онда кейбір
нүктесіндегі гармониялық функция кез келген сферасындағы осы
функцияның орташа мағынасына тең болады.
(11) формуласын беті және нүктесі центр болып келетін
шарға қолданайық:

Егер бетінде

және ,

формулаларына назар аударсақ, бетіне ішкі норальдің бағыты, радиус
бағытымен беттеседі онда бірден (14) формуласын аламыз.
(14) формуласын мына түрде жазсақ, онда

және 0-ден а-ға дейін ( арқылы интегралдасақ, онда

, ,

аламыз.
Яғни — шекарасы бар шарының көлем жағынан орташасы.
Екі тәуелді айнымала жағдайы үшін орташа мағына теоремаса орын
алады.

(15)

мұнда Са — гармониялық облысында жатқан, нүктесі центр болып
келетін а радиусының шеңбері.
3. Егер функциясы тұйық облысында
үзіліссіз және анықталған, сонымен берге облысының ішінде
теңдеуін қанағаттандырса, онда функцияның максималды және
минималды мғыналары бетінде жетеді (максималды мағына принципі).
облыста , кейбір ішкі нүктесінде функциясы
максималды мағынаға жетеді.
Яғни

мұндағы -облысының кез келген нүктесі. облысының ішінде
түгелдей жатқан , нүктесі ( радиусы болып келетін — сферасымен
қоршалған. облысындағы функцияссның ең үлкен мағынасы
болса, онда (14) орташа мағына формуласын қолданып және интеграл
астындағы — мағынасын мағынасына ауыстырсақ, онда (16)
формуласын аламыз.
Егер — сферасының ең кемінде бір нүктесінде болса,
онда ( белгісінің орнына белгі болып, ол қайшылыққа әкеледі.
Сондықтан барлық бетінде
Егер — нүктесінен бетіне дейінгі минималды
арақашықтық болса, онда бетенің ішінде жатқан барлық нүктелер
үшін . Осыдан , және жалпы бөлігіне жататын
нүктелерінде бойымен үзіліссіз. максималды мағынасы
нүктесінің шекарасында жетеді, яғни теорема дәлелденді.
Егер облысы байланыстырушы және ең кемінде бір ішкі
нүктесінде максималды мағынаға жетсе, онда барлық облыста . —
облыста кез келген басқа бір нүкте болсын. Қисық L сызықпен
нүктесін нүктесімен қосайық. Оның ұзындығы l деп белгілейік. —
-ден L сызығының шығуының ақырғы нүктесі болсын. Бұл нүктеде .
СУРЕТ(3)
тандаусыздығы және тұйық облысында үзіліссіздігі
арқылы қорытынды жасасақ, онда шекара нүктелерін қоса барлық жерде .
Сондықтан барлық гармониялық функциялардың ішінен тек облыстын ішкі
нүктелерінде тұрақты өзінің максималды мағынасына жетеді.
Теоремены минималды мағынаға қатысты да ұқсас жолмен дәлелдеуге
болады.
Салдар 1: және функциялары облысында үзіліссіз,
-да гармониялық болып және егер -да

(

болса, онда ішінде барлық жерде

( .

Расында да -да гармониялық, облысында —
үзіліссіз функциясы және бетінде

— (0.
Максималды принципіне сәйкес ішінде барлық жерде

— (0.

Салдар 2: Егер және функциялары облысында үзіліссіз,
облысында гармониялық болып және егер бетінде

(( (

болса, онда ішінде барлық жерде

(( ( .
Теорема шарты бойынша үш гармониялық функциялар -, және
мына шарттарды қанағаттандырады.

бетінде -((

салдар1–ді салдар2-ге қолдансақ , онда

ішінде барлық жерде -((

немесе

ішінде (( ( .
Салдар3: ішінде гармониялық және ішінде үзіліссіз
функциясы үшін теңсіздігі облысында барлық жерінде орындалады.
Дәлелдеу үшін қойып және салдар2-ні қолданамыз.

2.3 Бірінші шеттік есептің тұрақтылығы және жалғыздығы.

Кейбір функциясы берілген тұйық бетімен шектелген, облысы
берілсін. Қарапайым жағдайда , шекаралық функция үзіліссіз болса,
онда бірінші ішкі шеттік есеп (ішкі Дирихле есебі) Лаплас теңдеуі үшін
келесі түрде қойылады.
функциясын табу үшін :
а) шекарасымен қоса тұйық облысында үзіліссіз және анықталған.
б) теңдуін облысының ішінде қанағаттандырады.
в) берілген мағынасын шекарасында қабылдайды.
Жалғыздық теоремасын дәлелдейік.
Бірінші ішкі шеттік есептің Лаплас теңдеуі үшін екі әр түрлі
шешімдері бола алмайды.
Есептің шешімі болатын, екі түрлі функция және бар болсын
делік. Осы функциялардың айырымы — келесі қасиеттерге ие
болады.
1) облысының ішінде,
2) тұйық облысында үзіліссіз,
3) .
функциясы облысында үзіліссіз , гармониялық және
шекарасында нөлге тең. Тұйық облыста кез кедген үзіліссіз функция өз
максималды мағынағынасына жетеді. екеніне көз жеткізейік. Егер
функция функцияны және кемінде бір нүктеде болса, онда ол
ішкі облыста оң максималды мәнге жету керек, бірақ ондай мүмкін емес.
Дәл осылый , фуекциясы облысында еш жерінде теріс
мағыныларды қадылдай алмайтыны дәлелденеді.
Осыдан

Бірінші шеттік есептің шекаралық берілгендерінен үзіліссіз тәуелді
шешімдерін дәлелдеуіне көшейік.
және — облысында үзіліссіз, ішінде гармониялық
функциялар , олар үшін бетінде . облысында барлық
жерінде осы теңсіздік орындалады.
Осы қағида салдар2-ден шығып отырғаны және гармониялық
функция болып табылатыны анық.
Осымен шекаралық шарттан үзіліссіз тәуелді шешімі және бірінші
шеттік есептің жалғыздығы дәләлденді.

2.4 Үзілісті шекаралық шарттары бар есептер.

Көбінесе үзілісті шекаралық шарттары бар бірінші шеттік есептер
кездеседі. Тұйық облыстағы үзіліссіз функция осы есептің шешімі болуы
мүмкін емес. Сондықтан қарастырылып жатқан жағдайға байланысты бірінші
шеттік есептің берілгенін анықтау керек.
облысымен шектелген С қисығында жазықтығында бөлікті –
үзіліссіз функциясы берілсін. функциясын табу керек.
1) облысының ішінде гармониялық болсын.
2) ақырғы үзіліссіз нүктелерінде шекаралық мағыналарға үзіліссіз
жанасқан.
3) тұйық облысында шектелген .
Шекаралық қосымша талаптар тек функцияның үзілісті нүктелер
жанына қатысты.
Келесі теореманы дәлелдейік.
Бірінші шеттік есептің бөлікті үзіліссіз шекаралық мағына шешімі
жалғыз.
және — берілген есептің екі шешімі болсын. Айырымы

1) ішінде гармониялық функция болып келеді.
2) үзілісті нүктесінен басқа , шекарада нөлдік шекаралық мағынаға
үзілісті жанасқан.
3) облысында шектелген.
Гармониялақ функцияны құрайық:

.

Мұндағы ε – оң сан, D – облыстың диаметрі, – қарастырылып отырған
нүктесінен үзілісті — нүктесіне дейінгі арақашықтық.
функциясы оң , өйткені көбейткіштердің барлықтары нөлден үлкен.
Әр үзілісті нүктеде радиусты дөңгелек салайық.
тандағандағы әр көбейткіш

келетін шеңберінен –ға өтеді, яғни . функциясы
тұйық облыста және осы облыстың шекарасында үзіліссіз.
Сондықтан максимум принципіне сәйкес функциясы мажорантты
болып келеді:

S облысының кез келген нүктені белгілеп және деп ұмтылу
жасасақ, онда

Солай болғандықтан

функциясы – дан тәуелсіз болғандықтан, немесе

Яғни теорема дәлелденді.

5. Оқшауланған ерекше нүктелер.

Гармониялық функциясының оқшауланған ерекше нүктелерін
қарастырайық. — гармониялық функциясының ішінде жатқан
оқшауланған ерекше нүкте. Онда екі жағдай мүмкін бола алады:
1) гариониялық функция нүктесінің аймағында шектелген.
2) гариониялық функция нүктесінің аймағында шектелмеген.
Екінші ретті ерекше нүктелермен біз таныспыз, мысалы ол — . Бірінші
ерекше нүктелер типінің іске аспайтынын келесі теорема көрсетеді.
Егер нүктесінен өзгеше шектелген функциясы
облысында гармониялық болса, онда облысында барлық жерінде
функция гармониялық бола отырып, мәнін анықтауға болады.
ішінде түгелдей жатқан нүкте центрі, радиусы α болатын
— дөңгелекті алайық және дөңгелектің щеңберінде
функциясымен беттесетін гармониялық функциясын қарастырайық.

айырымын құрастырайық және
1) нүктесінде анықталмаған , сондықтан нүктесінен
басқасы ішінің барлық жерінде гармониялық болады.
2) шеңберінде нөлдік шекаралық шартқа үзіліссіз жанасады.
3) тұйық облысында шектелген.
4-пунктегі теореманы дәлелдеу сияқты теріс емес гармониялық
функцияны құрайық:

Мұндағы ε – оң сан, ( – дөңгелегінің радиусы, – қарастырылып
отырған нүктеден үзілу нүктесіне дейінгі арақашықтық.
δ радиус деп алып, нүкте центрі болып келетін дөңгелекті
құрайық және оның шеңберінде мәні мінінен асатын болсын.
Сонымен бірге — облысын қарастырайық. функциясы
тұйық облысында үзіліссіз және осы облыстың шекарасында
тәуелсіздігі орын алады.
Максималды мән принципі не сәйкес теріс емес функциясы
мажортты функция болып келеді.

үшін

нүктесімен беттеспейтін облысында кез келген нүктесін
белгілейік және болғандағы шеттік ауысу жасасақ, онда

нүктесінен басқасы барлық жерінде

Басқаша айтқанда S облысындағы функциясы нүктесінен
басқа жерінде функциямен дәл келеді. деп ұйғарсақ, онда S
облысының барлық жерінде гармониялық функциясын аламыз.
Үш өлшемді жағдай үшін теорема ұқсас жолмен дәлелденеді және
мажортты функциясының орнына функциясы алынуы мүмкін.
Теоремены дәлелдеу кезінде нүктесінің аймағындағы
функциясы шектелген деп, алып және нүктесінің аймағындағы
функция мына теңсіздікті қанағаттандырады.

(17)

Мұндағы — ұмтылғандағы кез келген функция, яғни
нүктесінің аймағындағы функциясы функциясынан көрі баяу өседі.

Егер шектелген функция S облысында гармониялық болып
нүктесінен өзгеше және аймағында болғандағы функциясынан
көрі баяу өссе, онда нүктесінің аймағындағы бұл функция шектелген
болады және S облысында барлық жерінде функциясы гармониялық болса,
онда мәнін анықтауға болады.
Үш тәуелсіз айнамалы жағдайда:
Егер оқшауланған ерекше нүктесінің аймағында
гармониялық функция -ден баяу өссе,

(18)

онда ол осы нүкте аймағында шектелген және мәнін анықтау үшін
нүктесінің өзінде де функция гармониялық болу керек.

2.6 Шексіздіктегі үш айнымалысы бар гармониялық
функциының реттілігі.

Егер

және , , (19)

жеткілікті үлкен болғандағы шектелген үш айнымалысы бар
гармониялық функцияның реттілігі деп аталады.
Егер кейбір тұйық бетінен тыс функциясы гармониялық
және шкесіздікте нөлге бірқалыпты ұмтылса, онда ол шексіздікте ретті
екенін дәлелдейік.
Шексіздіктегі нөлге бірқалыпты ұмтылу шарты фуекцияның бар
болуын белгілейді.

( болғандағы ) (20)
мұндағы — нүктесінің радиус – векторы .
Кельвин түрлендіруіне келтірсек

мұндағы , онда бетінің барлық жерінде функциясы
гармониялық және кері радиус – векторларды түрлендіргенде бетін
бетіне көшеді, бірақ координат басынан өзгеше өйткені координат
басында ол щқшауланған ерекше нүктеге айналып кетеді.
Демек (20) шартынан функциясы үшін координат басының
аймағында келесі теңсіздік орындалады.

немесе

болғандағы

5. пунктегі теорема негізінде

болғандағы (21)

функциясы гармониялық және шектеулі.
Осыдан

болғандағы

болғандағы функциясының гармониялығын бұлай жазуға
болады:

(22)

мұндағы , , .
Осыдан ,, туындаларын есептеп және нүктесінің
аймағындағы функциясының бірінші түындысының шектелгенін еске
сақтау керек.

болғандағы

және туындылары үшін ұқсас жолмен шығарылады.

2.7 Ішкі шеттік есептер. Екі- және үшөлшемді
есептер үшін шешімінің жалғыздығы.

Екі және … жалғасы