Центрден тартқыш күштермен керілген армирленген өзектердің (стерженьдердің) тербелістерінің меншікті жиілігі

Физика математика факультеті
Математика және МОӘ кафедрасы

Дипломдық жұмыс
Тақырыбы: Центрден тартқыш күштермен керілген армирленген өзектердің
(стерженьдердің) тербелістерінің меншікті жиілігі

Орындаған: Альжанова К.М.
Жетекші:
Техника ғылымдарының докторы
Байшагиров Х. Ж.

Көкшетау 2012 ж.

МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 3
1 БӨЛІМ 5
Екі компонентті денелер динамикасының кейбір мәселелері 5
1.1 Негізгі қатынастар 5
1.2 Виртуальды жұмыстардың принципі 6
1.3 Гамильтонның жалпыланған принципі 7
2 БӨЛІМ 10
Армирленген өзектің (стерженьнің) көлденең қозғалыстарына композиция
компоненттерінің өзара әрекеттестігінің әсері 10
2.1 Толтырушы мен матрицаның центрден тартқыш күштер өрісіндегі
армирленген өзектің көлденең қозғалысының өзара әрекеттестігінің
әсері 10
2.2 Меншікті жиіліктер теңдеуінің сандық сараптауы 16
2.3 Жиіліктер теңдеуінің сандық және графикалық талдауы 17
ҚОРЫТЫНДЫ 28
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 29

КІРІСПЕ

Қазіргі техниканың дамуы ішінде композициялық материалдар негізінде
орын алатын жаңа конструкциялық материалдардың жасалуымен тығыз байланысты
болады. Химиялық тұрғыдан алғанда әр текті фазалардың ең жақсы – беріктік,
пластикалық және т.с.с. қасиеттері үйлескен. Ешбір компонентте болмайтын
қасиеттерімен осы композиция ерекшеленеді. Негізгі қасиеттері болып жоғарғы
деңгейдегі меншікті беріктік, армирлену бағытындағы қатаңдық болып
табылады.
Жаңа ғарыш кемелердің, ұшақтардың, ракеталардың, суда тереңге
сүңгитін аппараттардың, қысымдық сосудтардың, жерде жүретін және суда
жүзетін транспорттың жобалары композициялық материалдар ең жақсы деңгейде
қанағаттандыратын талаптар қояды. Армирленген денелердің деформациялау
теориясына екі әдісі –амал бар:
1.Копозицияларды анизотроптық қасиеттері бар біртекті орта ретінде зерттеу.
2.Копозицияларды құрылымдары біртекті денелер ретінде модельдеу.
Бірінші жағдайда армирленген дене келтірілген физика — математикалық
параметрлері бар орта ретінде қарастырылады да оның математикалық
бейнелеуі классикалық теория қатынастарынан өзгешелігі басқаша болады.
Екінші жағдай армирленген орталардың құрылымдық теориясын анықтайды
және осы теория әр материалдық нүктеде кернеулердің, орын ауыстырулардың,
композициялық материалдардың сәйкес жеке компоненттердің екі физикалық
өрістің анықталуына негізделген.
Дипломдық жұмыстың бірінші тарауы динамикалық деформация жағдайында
болатын армирленген дене үшін негізгі қатынастар мен вариациялық
принциптерден тұрады.
Екінші тарауда центрден тартқыш күштер өрісінде болатын армирленген
өзектің көлденең қозғалысындағы композиция компоненттерінің өзара
әрекеттестігінің әсері зерттеледі және сандық талдау жүргізіліп,
жиіліктерімен қозғалтқыштың (двигательдің) уақыт бірлігіндегі айналымдар
санының арасындағы тәуелділік графиктері салынған.
Жұмыстың құрамында 5 кесте және 6 график бар.

1 БӨЛІМ
ЕКІ КОМПОНЕНТТІ ДЕНЕЛЕР ДИНАМИКАСЫНЫҢ КЕЙБІР МӘСЕЛЕЛЕРІ

1.1 Негізгі қатынастар

Армирленген орталардың стационарлы емес деформацияланғанда олардың
элементарлық көлемдерінің қозғалысы [5] теңдеулермен бейнеленеді;
m
+ = ρ11 i + bij( – )
M
+ = ρ22 i + bij(– )
(1.1.1)

мұнда ρ11= νm ρm, ρ22= νM ρM,
ρm, ρM- сәйкесінше шартты шамасына көбейтілген толтырушы мен матрицаның
тығыздықтары;
bij- механикалық өзара әрекеттестіктің коэфициенті
, – толтырушы мен матрицаның орын ауыстыру векторларының
компоненттері;
νm, νМ- көлемдік шама;
– көлемдік күштер;
, — толтырушы мен матрицаның кернеулер тензорларының
компоненттері.
Жалпыланған Гук заңы бойынша мынадай түрде жазылады [1]:

= +
= +
(1.1.2)

мұндағы , толтырушы мен матрицаның серпімді сипаттамалары;
– ол тіркелудің қатаңдық параметрі деп аталады, ол дененің бір
компонентінің деформациясының басқа компоненттегі кернеуіне әсерін
сипаттайды.
– матрица және толтырушының кіші деформацияларының тензоры;
Кинематикалық қатынастар [1]:

= 0,5( + ), = 0,5( + )
(1.1.3)

t=t0 болғанда бастапқы шарттары мынадай түрде қабылданады:

=g, = g,
(1.1.4)
= , =
(1.1.5)

мұндағы g, g, , – координаталардың берілген функциялары.
1.2 Виртуальды жұмыстардың принципі

Виртуальды жұмыстар принципінің тұжырымдамасын келтірейік. Уақыт
бойынша өзгеретін қосымша жұмыстың ықпалымен толтырушы мен матрица
материалында пайда болған және орын ауыстыруларға өзінің
туындыларымен үздіксіз етіп болжайтын, бірақ дененің деформациясымен
шектелетін шарттары мен келісілген δ және δ виртуальды
өсімшілерді қосамыз. Мысалы, орын ауыстырулары берілген Sn бетінің
бөлігінде мынаны қабылдауымыз керек:
δ = δ =0
Сыртқы күштердің виртуальды жұмысын қарастырайық:

δL =(δ + δ)dV + (δ + δ)ds
(1.2.1)

III шектік есептің және Гаусс- Остроградский теоремасының шарттарын
қанағаттандырғаннан кейін:

δL = (( + δ) δ + ( + δ)δ)dV +(δ +
δ)dV (1.2.2)

Мұнда осы теңдік қолданылады:

δuij = (δeij + δ)dV

мұнда – қисық симметриялы тензор.
(1.2.2) теңдігін (1.1.1) қозғалыс теңдеуін есепке ала отырып түрлендіреміз.
Алынған нәтижені (1.2.1) теңдігімен салыстырумен осы шығады:

m M

[( – ρ11 i δ + ( – ρ22 i) δ]dV
+(δuim + δ)dS =

= bij( – )δ( — )dV + (δ +
δ)dV (1.2.3)

(1.2.3) теңдігі армирленген орталардың виртуальды жұмыстардың принципін
білдіреді. Осы принцип бойынша армирленген дене инерцияның массалық беттік
күштерінің виртуальды жұмысы орын ауыстырудың виртуальды айырымдарындағы
композиция компоненттерінің өзара серпімді әсер күштер жұмысы және
деформация варияциясындағы кернеулер жұмысының қосындысына тең болады. Ол
серпімді және серпімді емес денелер үшін, шиеленіскен және деформацияланған
қалыптарының арасындағы сызықтық және сызықты емес қалыптастыруына тура
болады.
(1.2.3) өрнегіне (1.1,2) физикалық қатынастардың енгізілуі
динамикалық қосымша жұмыстарының ықпалында болатын сызықтық- деформациялық
армирленген денені зерттеуге арналған принципті қолдануға мүмкіндік
туғызады.
δ– өсімшелері нақты сызықтық өсімшелері болады деп болжайық, яғни мына
қатынастарды тура деп есептейік:

δ = dt = dt,

δ= dt = dt

(1.2.4)
δωe =

Мынадай шамаларды енгізейік:

К= (ρ11 + ρ22 ))dV

Д= bij( – )( – )dV
(1.2.5)

Wе = (δ + δ)dV

К- амирленген дененің кинематикалық энергиясы
Д-серпімді кедергінің энергиясы
Wе -деформацияның энергиясы.
(1.2.4) өрнегін (1.2.3) өрнегіне қойып және (1.2.5) өрнегінің белгілеулерін
пайдаланып, қарапайым түрлендірулерден кейін негізгі энергияның теңдеуі
шығады:

(K+We+Д)=(+ )dV+ (+ )dS
(1.2.6)

(1.2.6) теңдеуі энергияның сақталу заңын білдіреді.

1.3 Гамильтонның жалпыланған принципі

Осы параграфта екі компонентті ортаға жалпыланған Гамильтонның
принципін келтірейік.
t=t0, t=t1 уақыт аралықтарында үздіксіз өзгеретін деформациялау үрдісі
қарастырылады. uim, uiМ –нақты орын ауыстыруларын + δ , +
δ орын ауыстыруларына теңестіреміз және
δ = δ =0, δ = δ =0 болатындай
өзгертейік. (1.3.1)
t=t0 t=t1 t=t0 t=t1
Виртуальды жұмыстар принципі мына түрде жазылады:
m M
δL -[ ρ11 δ + ρ22 δ]dV=δWe+δД
(1.3.2)

мұнда δL (1.2.1) теңдеуімен анықталады.
(1.2.3) теңдеуін t0–ден t1–ге дейінгі уақыты бойынша интегралдайық:

m M
(δWe +δД)dt= δL-dt [ρ11 δ + ρ22
δ]dV (1.3.3)

Кинетикалық энегияның варияциясын есептейік:

m M
m M

δК= [ρ11δ + ρ22 δ ]dV= [ ρ11δ +
ρ22δ]dV-

m M
— [ρ11δ + ρ22δ ]dV

Осы өрнекті t0–ден t1–ге дейінгі уақыты бойынша интегралдаймыз, сонда
(1.3.1) – дің формуласы бойынша мына теңдік тура болады:

m
M
δКdt= -dt[ρ11δ + ρ22δ]dV
(1.3.4)

(1.3.4)-ті (1.3.3) –ке қойғанда:

δ(We+Д — K)dt= δLdt
(1.3.5)

Осы теңдік екі компонентті ортаға жалпыланған Гамильтонның принципі
болып табылады. К, Д, We шамалары жағдай функциялары, лездік жағдайға
тәуелді шамалар болатын себептер бойынша (осы жағдайға қалай жетуімізге
байланысты емес) (1.3.5) теңдігінің сол жағындағы варияция таңбасын
интеграл таңбасының алдына шығарамыз. (1.3.5) теңдігінің оң жағындағы
δ варияция таңбасын тек сыртқы күштерде потенциал болғанда ғана интеграл
таңбасының алдына шығаруға болады

δL= — δ — δ= -δ( + ), сонда

δ(We+Д-K+ ν)dt=0
(1.3.6)

Потенциал энергиясын П= We+Д+ ν деп белгілеп Гамильтонның принципін келесі
түрде жазамыз:

δ(П-K)dt=0
(1.3.7)

мұнда П-К – Лагранж функциясы. (1.3.7) өрнегінен Гамильтонның принципі

бойынша орындалатын (П-K)dt амалы экстремальды мәндерді

қабылдайтындығы көрінеді.
К=0 статистикалық есебі үшін Гамильтонның принципі потенциал энергияның
минимум принципіне келтіріледі.

δП=0

Екі компонентті орталардың стационарлы емес деформациялау сызықтық
моделінің негізінде алынған (1.2.3), (1.3.5) варияциялық принциптері
амирленген денелерде динамикалық құбылыстарды зерттеуге мүмкіндік береді.

2 БӨЛІМ
АРМИРЛЕНГЕН ӨЗЕКТІҢ (СТЕРЖЕНЬНІҢ) КӨЛДЕНЕҢ ҚОЗҒАЛЫСТАРЫНА КОМПОЗИЦИЯ
КОМПОНЕНТТЕРІНІҢ ӨЗАРА ӘРЕКЕТТЕСТІГІНІҢ ӘСЕРІ

Армирленген өзектің [3] мысалы арқылы композициялық материалдардың
компоненттері өзара әсері мен армирленген дененің еркін көлденең
тербелістеріне жасайтын ықпалы зерттелген. Композиция компоненттері өзара
күшті әсерлескенде келтірілген теңдеу бір ғана меншікті жиілікті анықтайды,
оның шамасы толқын ұзындығының негізінде табылған жиілік шамасынан өзгеше
болады, ал композиция материалдарының компоненттерінің әсері сәл бос болған
жағдайда, өзектің екі бірдей мөлшері және жеке жасалған өзектер мен
матрицалардың тербелістерінің меншікті жиіліктерінен өзгешеленетін екі
меншікті жиіліктері бар болады. Өзек және шыны пластинкадан жасалған тік
бұрышты қиманың тербелістерінің алғашқы үш түріндегі меншікті жиіліктердің
негізінде орындалған есептеулер қанағаттанарлық болып эксперименттің
берілгендеріне сай келеді.

2.1 Толтырушы мен матрицаның центрден тартқыш күштер өрісіндегі армирленген
өзектің көлденең қозғалысының өзара әрекеттестігінің әсері

Міндеттердің қойылуы: екі компонентті денеге жалпыланған Гамильтонның
принципінің көмегімен центрден тартқыш күштердің ықпалы бойынша болатын
тербелістердің меншікті тербелістерін анықтайтын теңдеуді шығарып алу.
Мақсаты:
1.Двигательдің айналымдар санының;
2.Толтырушының салыстырмалы шаманың меншікті жиіліктерге тигізетін
әсерін анықтау.
Тұрақты қалыңдығы бар күрек түстес профильді армирленген өзектің
көлденең тербелістерін қарастырайық. Екі компонентті трансверсальді-
изотропты орта үшін , ,бойлық кернеулермен , деформациялар
арасындағы байланыс (1.1.2) түрінде жазылады.
Егер композициялық материалдардың әр компонентіне жазық қималар
гипотезасын қолданатын болсақ, онда деформациялар мына теңдіктермен
анықталады:

= — x2 , = — x2
(2.1.1)

мұндағы — толтырушы мен матрицаның сәйкесінше нүктелерінің көлденең
орын ауыстырулары. Гамильтонның принципін жазамыз:

δ (We+Д — K)dt= δLdt
(2.1.2)

мұндағы L- центрден тартқыш күштердің жұмысы.
(1.2.5) – ке сәйкес деформация энергиясы мына теңдіктермен анықталады:

We= ( + )dV

(1.1.2) және (2.1.1) қатынастарын қолданғанда осы шығады:

We= [(λm +2μm)( )2 + 2 — +

+(λM +2μM)dV= x22 ds [(λm +2μm) )( )2 +

+2 + (λM + 2μM)( )2]dx1= [(λm +2μm)( )2 +

+2 +(λM + 2μM)( )2]dx1
(2.1.3)

мұндағы J3=ʃʃ ds.
Серпімді кедергінің Д энергиясы композит компоненттері арасындағы өзара
әсерлесу күштерімен келісіледі және сәйкес орын ауыстыруларының айырымына
пропорционал болады:

Д= b(- )2dV= bs(- )2dx
(2.1.4)

Мұнда S= ds.

Кинетикалық энергия:

К= [ρ11()2 +
ρ22()2]dV (2.1.5)

Онда центрден тартқыш күш осы формуламен есептеледі:

L= -s(ρ11+ ρ22)(R0+) ()2dx2
(2.1.6)

R0- радиус
– бұрыштық жылдамдық
Өзек нүктелерінің орын ауыстырулары А нүктесіне бағытталған (шеңбер
центріне), ал инерция –А нүктесіне, сондықтан осы күшпен орындалатын
жұмыстың таңбасы теріс болады.
Центрден тартқыш күштердің жұмысы тұрақты, себебі айналым тұрақты
жылдамдықпен орындалады және жұмыстың уақытқа тәуелді емес екендігі айқын.
Сондықтан (2.1.2) теңдігінің оң жағындағы δ варияциясы таңбасының интеграл
таңбасының сыртына шығаруға болады. Тербелістердегі нүктелердің мүмкін
болатын орын ауыстырулары 2- де баяндалады.

m (М)(х,t)= … жалғасы