Үшбұрыш медианасының қасиеттері

• Две стороны треугольника соответственно равны 6 и 8. Медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

• Длина одной из сторон треугольника равна 26, а длины медиан, проведенных к двум другим сторонам, равны 30 и 39. Найдите площадь треугольника.

• В треугольника АВС АА1 и СС1 – медианы, причем  АА1=5, , . Найдите площадь треугольника АВС.

• Медианы треугольника 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

• Длины двух сторон треугольника 27 и 29. Длина медианы, проведенной к третьей стороне, равна 26. Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне длиной 27.

Задачи для самостоятельного решения1. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника АВС, если длина АМ равна 3, а длина BN равна 4.О т в е т: 8.2. Основание равнобедренного треугольника равно 2. Медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.О т в е т: 3.3. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна . Найдите площадь треугольника.О т в е т: 3.4. В треугольнике АВС медианы АD и ВE перпендикулярны, , . Чему равен квадрат третьей стороны?О т в е т: 5.5. Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к двум другим сторонам – 24 и 18. Найдите площадь треугольника.О т в е т: 288.6. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами.О т в е т: 14.7. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите длину стороны АС, если угол ABD – прямой.О т в е т: 10.8. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и , а медиана третьей стороны равна 2. (Указание – достроить до параллелограмма). О т в е т: .

Задачи для самостоятельного решения1. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника АВС, если длина АМ равна 3, а длина BN равна 4.О т в е т: 8.2. Основание равнобедренного треугольника равно 2. Медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.О т в е т: 3.3. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна . Найдите площадь треугольника.О т в е т: 3.4. В треугольнике АВС медианы АD и ВE перпендикулярны, , . Чему равен квадрат третьей стороны?О т в е т: 5.5. Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к двум другим сторонам – 24 и 18. Найдите площадь треугольника.О т в е т: 288.6. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами.О т в е т: 14.7. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите длину стороны АС, если угол ABD – прямой.О т в е т: 10.8. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и , а медиана третьей стороны равна 2. (Указание – достроить до параллелограмма). О т в е т: .

Теорема(Свойство медиан треугольника)Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.Дано: ABC, AA1, BB1, CC1 — медианыДоказать:    Доказательство: 1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO(то есть AM=OM, BN=ON).2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.Тогда MN — средняя линия  треугольника AOB и  3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и  4) Имеем:  Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).По свойству диагоналей параллелограмма  Таким образом,      из чего следует, что  5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O.Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:  Что и требовалось доказать.